hicheel
Хичээл №1. Анхны ба зохиомол тоо Бодлого: 20 ширхэг лийрийг хэдэн хvvхдэд тэнцvv тоотойгоор өгч болох вэ? Бодолт: Нэг хvvхдэд бvх лийрийг өгч болно. Бас 2 хvvхдэд 10, 10-аар нь өгч болно. 4 хvvхдэд 5, 5-аар нь, 5 хvvхдэд 4, 4 -өөр нь, 10 хvvхдэд 2, 2-оор нь 20 хvvхдэд 1, 1–ээр нь өгч болно. Эндээс 20 гэдэг тоо маань 1, 2, 4, 5, 10, 20 гэсэн тоонуудад хуваагдах бөгөөд vлдсэн 3, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 зэрэг тоонуудад хуваагдаггvй байна. Тэгвэл 29 ширхэг лийрийг дээрхийн адил хэдэн хvvхдэд тэнцvv тоотойгоор өгч болох вэ?
Энэ тохиолдолд 1 хvvхдэд 29 ширхэг лийр, эсвэл 29 хvvхдэд 1 нэг, нэг лийр өгч болно гэсэн 2 тохиолдолтой. Харин 29 гэдэг тоо маань 1, 29 гэсэн хоёр тоонд хуваагддаг бөгөөд 29 хvртэлх бусад тоонуудад хуваагддаггvй.
Тодорхойлолт:
Натурал тоог ноогдвор нь бас натурал тоо байхаар vлдэгдэлгvй хуваах тоог тvvний хуваагч гэнэ. | Жишээ нь: 1, 2, 4, 5, 10, 20 тоонууд нь 20 тооны хуваагчид болно. Харин 29 нь нэг ба өөрөөсөө ялгаатай ямарч натурал тоон хуваагч vгvй байна.
Тодорхойлолт:
Нэг ба өөрөөсөө өөр натурал тоон хуваагчгvй тоог анхны тоо гэнэ. Энэ тоо нь ямар ч хоёр анхны тооны vржвэрт тавигдахгvй гэсэн vг. | Жишээ нь:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, 31, 33, 37, 41, 43 гэх мэт тоонууд анхны тоо
Тодорхойлолт:
Нэг ба өөрөөс нь ялгаатай натурал тоон хуваагчтай натурал тоог зохиомол буюу нийлмэл тоо гэнэ. | Зохиомол тоо бvр 1 ба уг тооны өөрөөс нь ялгаатай натурал тооны vржвэр дvрстэй тавигдана. Vvнийг уг тоо vржвэрт задарч байна гэнэ.
Тодорхойлолт:
Хэрвээ аливаа натурал тоо 2-т хуваагдаж байвал тэгш, 2-т хуваагдахгvй бол натурал тоог сондгой тоо натурал тоо гэнэ. | Натурал тооны ангиллыг зургаар vзvvлбэл: | |
Анхны тоо | | Тэгш тоо | х | | ц | | Nатурал тоо | | ч | | ш | Зохиомол тоо | | Сондгой тоо | Хичээл №2. Тооны хуваагдах шинж Аливаа зохиомол тоог анхны тоонуудын vржвэрт тавьж болно. Ийм vржвэрт тавихын тулд уг тоо ямар тоонд хуваагдахыг мэдэх хэрэгтэй. Өгсөн тоог шууд ямар тоонд хуваагдахыг мэдэх хялбар чанaруудтай танилцъя. 2: Аливаа тэгш натурал тоо 2-т хуваагддаг болохыг бид мэддэг болсон билээ.
0 буюу 5-аар төгссөн тоо 5-д хуваагдана. 10: 2 ба 5–д зэрэг хуваагдах тоо 10-д хуваагдана.
Тэгээр төгссөн тоо 10-аар төгссөн байна. 2*10=20 Аливаа тоог 10-аар vржvvлэхэд 0-ээр төгссөн тоо болно. Эндээс 0-ээр төгссөн аливаа тоо 10-т хуваагдана. 3: Өгсөн натурал тооны цифрvvдийн нийлбэр нь 3 ба 9-д хуваагдаж байвал уул тоо 3-т хуваагдана.
15: 5 ба 3-д зэрэг хуваагдах тоо 15-д хуваагдана.
6: Өгсөн натурал тоо 2 ба 3 –д зэрэг хуваагдаж байвал уул тоо 6-д хуваагдана.
9: Мөн цифрvvдийнх нийлбэр 9-д хуваагддаг тоо 9-д хуваагдана. 9-д хуваагддаг тоо болгон 3-д хуваагдана. Харин 3-т хуваагддаг тоо болгон 9-д хуваагдах албагvй. 4: Өгсөн тоо нь хоёр тэгээр төгссөн бөгөөд сvvлийн хоёр цифр нь 4 хуваагдаж байвал уул тоо 4-т хуваагдана. 8: Харин сvvлийн 3 орон нь 8-д хуваагддаг ба гурван тэгээр төгссөн тоо байвал уул тоо 8-д хуваагдана.
Жишээ нь: | 
| хоёр тэгээр төгсөж байгаа учраас 4-т хуваагдана. | | 
| 48 нь 4-т хуваагдах учир уул өгөгдсөн тоо 4-т хуваагдана. |
32: 8 ба 4-т зэрэг хуваагдах тоо 32-д хуваагдана. 7, 11, 13: 7,11, 13 зэрэг тоонуудад хуваагдах тоо нь, уул тооны цифрvvдийг эцсээс нь гурав гурваар нь тасалж + ба – тэмдэг сөөлжлvvлэн тавьж vйлдлийг гvйцэтгэхэд гарсан тоо 7/11,13 /
тоонд хуваагдаж байвал уул тоо 7-д /11-д, 13-д / хуваагдана.
Жишээ нь: | 
| 56487912 гэсэн тоо 7 хуваагдах vгvйг vзье. Эхлээд өгсөн тоог сvvлээс нь гурван орноор нь таслан ягаанаар тэмдэглэснийг нь +, хөхөөр тэмдэглэснийг нь –тэмдэгтэй гэж vзээд vйлдлийг гvйцэтгэе. | |
912-487+56=481 энэ тоо нь 7 ба 11 хуваагдахгvй, харин 13-т хуваагдана.
Ийм учраас 56487912:13=4345224
Аливаа тоог ямар тоонд хуваагддаг болохыг мэдэхийн тулд дээрхи шинжvvдийг шалгаж vзэх хэрэгтэй.
Хэрвээ хоёр натурал тооны хуваагдах шинжийг агуулсан тоо байвал уул хоёр тооны vржвэрт хуваагдана.
Жишээ нь: | 112 гэсэн тоо 2 ба 7 гэсэн тоонуудын хуваагдах шинжvvдийг агуулсан байгаа учир эдгээр тоонуудын vржвэр буюу 14-т хуваагдана гэсэн vг.112:14=8 |
Хичээл №3. Хамгийн их ерөнхий хуваагч
Бодлого: Муур багш 42 зvсэм бяслаг, 63 чавгийг хулгануудад тус бvрээс нь тэнцvv тэнцvv оногдохоор хувааж өгчээ. Муур багш хэдэн хулганатай байж болох вэ? Хамгийн олондоо хэдэн хулгана шавьтай байх боломжтой вэ? Бодолт: 42 зvсэм бяслагыг хулгануудад тэнцvv хувааж өгөхөд, хулгануудад өгсөн бяслагны тоог хулганы тоогоор vржvvлэхэд 42 гарах ёстой. Мөн 63 чавгийг дээрхийн адил хулгануудад оногдсон чавганы тоог хулганы тоогоор vржvvлэхэд 63 гарах ёстой. 42-ын хуваагчид 1, 2, 3, 6, 7, 21, 42, 63-ын хуваагчид 1, 3, 7, 9, 21, 63 байна. Эндээс муур багш 1, 3, 7, 21 хулгана шавьтайтай байх боломжтой. Муур хамгийн ихдээ 21 хулгана шавьтай байна.
42 ба 63-ийн хуваагчдаас 1, 3, 7, 21 гэсэн тоонууд нь аль алийнх нь хуваагч болно. Эдгээрийг 42 ба 63-ийн ерөнхий хуваагчид гэнэ. 1, 3, 7, 21 хуваагчдын хамгийн ихийг буюу 21-ийг 42 ба 63-ийн хамгийн их ерөнхий хуваагч гэнэ. Хамгийн их ерөнхий хуваагчийг ХИЕХ гэж товчилдог бөгөөд 42 ба 63-ын хамгийн ерөнхий хуваагчийг
ХИЕХ(42;63)=21 гэж тэмдэглэдэг.
Жишээ нь: | 150 ба 94-ийн хамгийн их ерөнхий хуваагчийг олбол:
150-ын хуваагчууд: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 , 50, 150
96-ийн хуваагчууд: 1, 2, 3, 4, 6, 8,12,16,18, 24, 32, 48, 96 | энэ хоёр тооны ерөнхий хуваагч нь: 1,2,3,6 бөгөөд ХИЕХ(150;96)=6 байна. Vvнийг арай хялбар аргаар олж сурцгаая. Эхний жишээ дээр авч vзье. ХИЕХ(42,63)=21
| ХИЕХ(140;84)=28 | Хоёр тооны ХИЕХ нь бусад бvх ерөнхий хуваагчуудад хуваагдана. ХИЕХ-ийг олохдоо дараах диаграммын дагуу бодож олно. | 
| Тодорхойлолт:
Хоёр тоог анхны vржигдэхvvнд задлахад, 1-ээс өөр ерөнхий анхны тоон хуваагч байхгvй бол тэдгээрийн харилцан анхны тоо гэнэ. | Харилцан анхны хоёр тооны ХИЕХ нь 1 байна.
Жишээ нь: | 16, 21 гэсэн хоёр тоо авч үзье. 16=2*2*2*2, 21=3*7 эдгээрт ерөнхий хуваагч байхгvй байгаа тохиолдолд 1 тоо нь эдгээр тоонуудын ХИЕХ болно. | Хоёр тооны нэг нь нөгөөдөө бvхлээрээ хуваагдаж байвал бага нь тэдгээрийн ХИЕХ болно.
| ХИЕХ(45;90)=45 |
Хичээл №4. Хамгийн бага ерөнхий хуваагдагч
Бодлого: Сургуулийн гадаахи талбайг гэрлээр чимэглэхийн тулд эгнээ бvрд 25 гэрэл, эсвэл эгнээ бvрд 30 гэрэл байхаар байрлуулахад аль алинд нь сондгойрохгүй таарч байв. Уг талбайд хамгийн багадаа хичнээн гэрэл байрлуулсан байж болох вэ? Бодолт: Нийт гэрлийн тоо нь 25-ийг эгнээгээр vржvvлсэнтэй тэнцvv тул 25 нь гэрлийн тоон хуваагч байна. Vvнтэй адилаар гэрлийн тоо 30 бас хуваагдана гэсэн vг. Иймээс хамгийн цөөн гэрлийн тоо бол 25 ба 30-д хуваагддаг хамгийн бага тоо байна.
Өгөгдсөн тоо | 25, 30-д хуваагдах тоонууд | Аль алинд нь хуваагдах тоо | Хамгийн бага
хуваагддаг тоо | 25 | 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225, 250, 275, 300 … | 150, 300 | 150 | 30 | 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300 | 25 ба 30-ын аль алинд нь хуваагдах хамгийн бага тоог, тэдгээрийн хамгийн бага ерөнхий хуваагдагч гээд ХБЕХ гэж тэмдэглэдэг. 25 ба 30-ын хамгийн бага ерөнхий хуваагчийг ХБЕХ[25;30]=150 тэмдэглэнэ.
Одоо ХБЕХ-ийг яаж хялбараар олж болохыг vзье.
| Энэ жишээнээс харахад ягаанаар тэмдэглэсэн тоо буюу 5нь энэ хоёр тооны ХИЕХ болно. Харин 30-аас тэмдэглэгдээгvй vлдсэн 2, 3 vржигдэхvvнvvдийг 25-аар vржvvлэхэд энэ хоёр тооны ХБЕХ гарна. Тэгэхээр 25*2*3=150 гарна. Нөгөө талаас 25-аас тэмдэглэгдээгvй vлдсэн 5-ыг 30-аар vржvvлэхэд мөн адил энэ хоёр тооны ХБЕХ гарах ёстой. | ХБЕХ[25:30]=5*30=150 Эндээс дvгнэлт хийвэл:
Хоёр тооны ХБЕХ-ыг олохдоо аль нэгнийх нь анхны тооны задаргаан дахь бvх анхны тоон vржигдэхvvнийг нөгөөгийнхөө задаргаанд оролцоогvй буюу илvv бvх анхны тоон үржигдэхvvнээр vржvvлсэнтэй тэнцvv байна.
Жишээ нь: | 
| ХБЕХ[84;63]=84*3=63*4=252
ХБЕХ-ийг олохдоо 84-ийн анхны тоон задаргаанд ороогvй, 63-ын анхны тоон задаргаанд орсон бvх анхны тоог 84-өөр үржүүлж байна. | ХБЕХ[24;72]=? 24 тоо нь өөрөө 72 –т бүхлээрээ хуваагдаж байна. Энэ тохиолдолд өгсөн тоонуудын
хамгийн их нь ХБЕХ болно.
| Хэрвээ өгөгдсөн хоёр тооны нэг нөгөөдөө бүхлээрээ хуваагдаж байвал тэдгээрийн их ХБЕХ нь болно. | 
| Өгөгдсөн хоёр тоо маань харилцан анхны тоо учир тэдгээрийн ХБЕХ нь тэдгээрийн vржвэртэй тэнцvv байна. ХБЕХ[9;8]=8*3*3=9*2*2*2=72 | ХБЕХ-ийг хэд хэдэн тооны хувьд олж болдог.
ХБЕХ[12;8;6]=?
| 12=2*3*28=2*2*26=2*3 12-ын анхны тоон задаргаа нь 6 –г бvхлээр нь багтаасан ба 8-ын анхны тоон
задаргаанаас нэг 2-ын цифрээр дутуу байгаа учир 12-ийг 2-оор vржvvлэхэд эдгээр гурван тооны ХБЕХ гарна. ХБЕХ[12;8;6]=12*2=8*3=6*2*2=24 |
7анги Хичээл №1. Алгебрын илэрхийлэл Математикийн нэг голлох салбарын нэг бол алгебр юм. Манай эриний IХ зууны үед Узбекийн нэрт математикч Мухаммед аль Хорезми математикийн нэг маягийн бодлого бодох ерөнхий арга хайж эцэст нь тэгшитгэлийн тухай сургаал байдлаар нэгэн шинэ нээлт хийж түүнийгээ алгебр /algebry/ гэж нэрлэсэн нь ийнхүү хэрэглэгдэх болжээ. Бид ямар нэгэн бодлого бодохын тулд тоонуудын хооронд үйлдлийн тэмдгээр /нэмэх, хасах, үржих,
хуваах / холбодог бөгөөд энэ үйлдлийн тэмдгээр холбогдсон илэрхийллийг алгебрын илэрхийлэл гэж нэрлэдэг.
Тодорхойлолт:
Үсэг болон тоонуудыг хооронд нь үйлдлийн тэмдгээр холбоход үүссэн илэрхийллийг алгебрын илэрхийлэл гэнэ. |  алгебрийн илэрхийлэл нь нэг тоо ба нэг үсгээс тогтож болно.
Жишээ нь: | х, у, 21, | 
| Тодорхойлолт: Хэрвээ өгсөн алгебрийн илэрхийлэлд үсэг агуулсан хуваагч ороогүй байвал алгебрийн бүхэл илэрхийлэл гэнэ. | Жишээ нь: | 5xy, | 
| 0.001ab эдгээр нь алгебрын бүхэл илэрхийлэл | Тодорхойлолт:
Алгебрын илэрхийлэлд орсон үсгийн оронд ямар нэгэн тоо тавьж үйлдлийг гүйцэтгэхэд гарах тоог уг алгебрын илэрхийллийн тоон утга гэнэ. | y=8, a=2, b=3, c=6 үед |
| илэрхийлллийн тоон утга нь | 
| тэнцүү. | Хичээл №2. Адилтгал тэнцүү илэрхийлэл, адилтгал хувиргалт 5x+y, y+5x гэсэн хоёр илэрхийлэл байх сэлгэх хууль ёсоор нэгэн ижил утга авна. Энэ хоёр илэрхийлэл х ба у –ийн ямар утганд энэ илэрхийлэл утгатай байх вэ? Тодорхойлолт:
Аливаа илэрхийллийг утгатай байлгадаг тоонуудын олонлогийг уг илэрхийллийн тодорхойлогдох муж гэнэ. | Жишээ нь: | 5x+y илэрхийллийн тодорхойлогдох муж бүх тоо, харин  илэрхийллийн тодорхойлогдох муж нь a= -5 оос бусад бүх тоон утганд энэ илэрхийлэл утгатай байна. | Тодорхойлолт:
Аливаа хоёр илэрхийлэл ижил тодорхойлогдох мужтай бөгөөд түүнд харъяалагдах тоо бүрийн хувьд ижил утга авдаг байвал эдгээрийг адилтгал тэнцүү илэрхийлэл гэнэ. Адилтгал тэнцүү илэрхийллүүдийг хооронд нь тэнцүүгийн тэмдгээр холбоход үүссэн тэнцэтгэлийг адилтгал гэнэ. | Жишээ нь: |  ,
| Тодорхойлолт:
Алгебрийн илэрхийллийг түүнтэй адилтгал тэнцүү илэрхийллээр солихыг адилтгал хувиргалт гэнэ. | Аливаа илэрхийллийн төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэх, хаалт нээх, байр сэлгэх зэрэг үйлдэл хийсний дараа гарах илэрхийлэл нь, анх өгсөн илэрхийлэлтэй адилтгал тэнцүү илэрхийлэл болно. Жишээ нь: | 45a-52a+8a-2b=(45a-52a+8a)-2b=a-2b
(45a-52a+8a)=a эндээс a нь 45а-52а+8а илэрхийлэлтэй адилтгал тэнцүү илэрхийлэл болно. | Хичээл №3. Нэг ба олон гишvvнт
Нэг гишvvнт | Олон гишvvнт |
Суурийн тал нь 2 ба өндөр нь талтай, х2 өндөртэй тэгш өнцөгт паралельпипед хэлбэртэй усны лаазанд ямар хэмжээний ус орох вэ?
V=2х3
|
Хэрвээ уул усны лаазны өндөр нь 5 сантиметрээр нэмэгдсэн бол ямар хэмжээний ус орох вэ?
V=2x2(x+5)=2x3+10x2
|
Энэ хоёр илэрхийллийн хамгийн гол ялгаа нь эхнийх нь дан ганц үржвэрээс тогтсон байхад, олон гишүүнт гэсэн хэсэг үржвэрүүдийн нийлбэрээс тогтсон байгаад оршино.
|
Зөвхөн үржүүлэх, бүхэл зэрэгт дэвшүүлэх үйлдэл агуулсан алгебрын бүхэл илэрхийллийг нэг гишүүнт гэнэ.
|
Нэг гишүүнтийн нийлбэр илэрхийллийг олон гишүүнт гэнэ. Олон гишүүнтийг бүрдүүлж байгаа нэг гишүүнтийг түүний гишүүн гэнэ.
|
Нэг үсэг тоо, тэдгээрийн зэргийг нэг гишүүнт гэнэ.
|
Олон гишүүнтийг гишүүнийнх тоогоор хоёр, гурав, дөрвөн гишүүнт гэж нэрлэдэг. Нэг гишүүнтийг нэг гишүүнтэй олон гишүүнт гэж үзэж болно.
|
Нэг гишүүнтийн ижил төсөөтэй илэрхийллүүдийг эмхэтгэж бичихийг нэг гишүүнтийн стандарт дүрс гэнэ.
Жишээ нь: 
|
Төсөөтэй гишүүн байхгүйгээс гадна гишүүн бүр нь стандарт дүрстэй олон гишүүнтийг стандарт дүрстэй олон гишүүнт гэнэ.
Жишээ нь:  олон гишүүнтийг стандарт дүрсэд шилжүүлье. 
|
Стандарт дүрстэй нэг гишүүнтийн тоон үржигдэхүүнийг нэг гишүүнтийн коэффициент гэнэ.
Жишээ нь:  ,  ,849a нэг гишүүнтүүдийн коэффициент нь харгалзан  , 26, 846-тай тэнцүү
|
Стандарт дүрстэй олон гишүүнтийн гишүүдийн зэргийн хамгийн ихийг уг олон гишүүнтийн зэрэг гэнэ.
Жишээ нь:  олон гишүүнтийн зэргийг олъё. Иймээс эхлээд гишүүн тус бүрийн зэргийг олно.  гишүүний зэргийг олбол 1+1+7=9 болно.
 -ийн зэрэг нь 3+1=4
 -ийн зэрэг нь 1+2+4=7байна. Өгөгдсөн олон гишүүнтийн зэрэг нь 9 болно.
|
Нэг гишүүнтэд байгаа үсгүүдийн зэргийн илтгэгчүүдийн нийлбэрийг нэг гишүүнтийн зэрэг гэж нэрлэдэг.
Жишээ нь:  нэг гишүүнтийн зэрэг нь 4+2+1=7 болно.
|
Хэрэв нэг гишүүнт нь үсэг агуулаагүй бол тэг зэргийн олон гишүүнт гэнэ.
|
| Хичээл №4. Олон гишvvнтийг нэмэх хасах Олон гишvvнтийг нэмэх:
Жишээ нь:  олон гишүүнт дээр  олон гишүүнтийг нэмэхдээ олон гишүүнт тус бүрийг хаалтанд хийж нэмэх тэмдэгээр холбоно.  ингэсний дараа тэдгээрийг хаалт задлах хуулиар задлана.  одоо эндээс төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэнэ. нэмэх үйлдлийг хийж дууслаа.
Def | Олон гишүүнт дээр олон гишүүнтийг нэмэхдээ хаалтыг нээж орхиод төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэнэ. |
Олон гишvvнтийг хасах:
 олон гишүүнтээс  олон гишүүтийг хасахдаа нэмэх үйлдлийн нэгэн адил тус бүрээр нэг хаалтанд хийж, хасах тэмдгээр холбож өгнө. Ингэсний дараа хасагдаж байгаа олон гишүүнтийг түүний эсрэг олон гишүүнтийг нэмж төсөөтэй гишүүнтийг эмхэтгэнэ.
Def | Олон гишүүнтээс олон гишүүнтийг хасахдаа хасагдагч олон гишүүнт дээр хасагч олон гишүүнтийг эсрэг олон гишүүнтийг нэмнэ. | Олон гишүүнтийн нэмэх хасах үйлдлийг баганан бичиглэлээр бичиж үйлдлийг гүйцэтгэж болно. Жишээ нь: + - гэж өгсөн тохиолдолд ерөнхий тэмдгийг нэмэх болгоод хасагдагчийн эсрэг тоог нэмж өгнө.  Тайлбар толь Vсэг болон тоонуудыг хооронд нь үйлдлийн тэмдгээр холбоход үүссэн илэрхийллийг алгебрийн илэрхийлэл гэнэ.
Өгсөн алгебрийн илэрхийлэлд үсэг агуулсан хуваагч ороогүй байвал алгебрийн бүхэл илэрхийлэл гэнэ.
Алгебрийн илэрхийлэлд орсон үсгийн оронд ямар нэгэн тоо тавьж үйлдлийг гүйцэтгэхэд гарах тоог уг алгебрийн илэрхийллийн тоон утга гэнэ.
Аливаа илэрхийллийг утгатай байлгадаг тоонуудын олонлогийг уг илэрхийллийн тодорхойлогдох муж гэнэ.
Аливаа хоёр илэрхийлэл ижил тодорхойлогдох мужтай бөгөөд түүнд харъяалагдах тоо бүрийн хувьд ижил утга авдаг байвал эдгээрийг адилтгал тэнцүү илэрхийлэл гэнэ. Адилтгал тэнцүү илэрхийллүүдийг хооронд нь тэнцүүгийн тэмдгээр холбоход үүссэн тэнцэтгэлийг адилтгал гэнэ.
Алгебрийн илэрхийллийг түүнтэй адилтгал тэнцүү илэрхийллээр солихыг адилтгал хувиргалт гэнэ.
Зөвхөн үржүүлэх, бүхэл зэрэгт дэвшүүлэх үйлдэл агуулсан алгебрын бүхэл илэрхийллийг нэг гишүүнт гэнэ.
Нэг гишүүнтийн нийлбэр илэрхийллийг олон гишүүнт гэнэ. Олон гишүүнтийг бүрдүүлж байгаа нэг гишүүнтийг түүний гишүүн гэнэ. 8-р анги Хичээл №1. Рациональ иллэрхийллийн адилтгал хувиргалт Аливаа хоёр зүйлийг байрыг нь сэлгэж тавихад тэдгээрийн нийлбэр өөрчлөгдөхгүй гэдгийг бид мэдэх билээ. Мөн тэдгээрийн нийлбэрийн оронд үржвэр байхад байрыг сэлгэхэд үржвэрийн хэмжээ өөрчлөгдөхгүй. ав=ва
а(в+с)=(в+с)а хоёр илэрхийлэл аливаа тоо болон илэрхийлэлийн хувьд үнэн байдгийг бид мэдэх билээ.
Жишээ нь: | 
| 
| Энэ хоёр адилтгалыг ашиглан аливаа илэрхийлэлийг хялбарчилж болно. Аливаа тоо буюу илэрхийлэлийн хувьд дараах тэнцэтгэл үнэн.
Аливаа тоо болон илэрхийллийн хувьд дараах тэнцэтгэл биелэнэ.
Энд мөн өмнө үзсэн 7 томъёог ашиглан илэрхийллийг хувирган хурааж болно. Жишээ нь: 
Хичээл №2. Тэгшитгэл, түүний систем Бодлого: 72 см периметртэй тэгш өнцөгтийн хоёр талын нийлбэр нь 31 см бол тэгш өнцөгтийн талуудыг ол. Энэ бодлогийг бодохын тулд ямар арга хэрэглэх вэ? Яаж бодох вэ? Гэсэн асуултууд гарна. Иймээс өнөөдөр энэ хэлбэрийн бодлого бодоход хувьсагч оруулж бодох аргатай танилцах болно. Тоон илэрхийлэлд ямар нэгэн х хувьсагч байх ах=в тэнцэтгэлийг нэг хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл
гэнэ. Х хувьсагчийн шийдийг олох, эсвэл шийдгvйг харуулахыг тэгшитгэлийг бодох гэнэ. Тэгшитгэлийг бодохдоо: Бутархай хэлбэртэй бол хуваариас чөлөөлөх Шаардлагатай үед хаалт задалж, төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэх Тоон тэнцэтгэлийн чанрын дагуу хувьсагчтай хэсгийг тэнцэтгэлийн тэмдэгийн хоёр талд ялгаж бичих Ах=в хэлбэрийн тэгшитгэлийг бодож шийдийг олох Жишээ нь: | 
| х ба у нь хувьсагч, а,в ба с нь тоо байх ах+ву=с хэлбэрийн тэгшитгэлийг хоёр хувсагчтай шугаман тэгшитгэл гэнэ. Хоёр шугаман тэгшитгэлд орсон х ба у нэгэн ижил хэмжигдэхүүнийг тэмлэглэсэн үед уг хоёр тэгшитгэл систем үүсгэнэ. Системд орсон тэгшитгэл бүрйиг хангах тоог системийн шийд гэнэ.Тэгшитгэлийн системийг орлуулах, нэмэх, графикийн аргаар бодож болдог.
| => | 
| 1-р тэгшитгэлийн хоёр талыг 2-р үржүүлээд 2-р тэгшитгэл дээр нэмье. | 
| => | x=5 | олсон утгаа өгөгдсөн хоёр тэгшитгэлийн аль нэг тэгшитгэлд нь орлуулж у-ийн утгыг олно. | 5=2+y | y=3 | => | 
| | Жишээ 3: | Графикийн аргаар | 
| => | 
| энэ хоёр функцийн графикийг байгуулаад хоёр функцийн графикийн огтлолцын цэг нь энэ тэгшитгэлийн системийн шийд болно. | x=0 үед y=-2; y=0 үед координатын тоон тэнхлэгийн эдгээр цэгүүдийг дайрах шулуунууд байна. эдгээрийн огтлолын цэг нь уул тэгшитгэлийн системийн шийд болно. Oгтлолын цэг нь y=3, x=5 +- болж дээрх хоёр аргаар бодсонтой хариу нь нийлж байна. | 
| Хичээл №3. Тэнцэтгэл биш, түүний систем а, в нь ямар нэгэн тоо, х нь хувьсагч байх ах>в буюу ах<в дүрстэй тэнцэтгэл бишийг шугаман тэнцэтгэл
биш гэнэ. Нэг хувьсагчтай тэнцэтгэл бишийн хувьсагчийн оронд тавихад үнэн тоон тэнцэтгэл биш гардаг хувьсагчийн утгыг түүний шийд гэнэ.
Жишээ №1: | 
| 
| 2-оос их тоонууд нь энэ тэнцэтгэл бишийн шийд болно.
Уг тэнцэтгэл бишийн шийдийг тоон шулуун дээр дээрхийн адил дүрсэлж болно. Системийн тэнцэтгэл биш тус бүрийг нэгэн зэрэг зөв тоон тэнцэтгэл биш болгох хувьсагчийн утгыг
системийн шийд гэнэ. Системийн шийдийг олох буюу шийдгүй гэдгийг тогтоохыг тэнцэтгэл бишийн
системийг бодох гэнэ.
2 нь х-ээс их буюу тэнцүү гэсэн учир 2 өөрөө энэ тэнцэтгэл бишийн шийд болж чадна. Яагаад гэвэл 2 өөрөө х-тэй тэнцүү байж болох учраас ... Харин -3 нь х-ээс эрс бага гэсэн байгаа тул -3 өөрөө тэнцэтгэл бишийн системийн шийд болж чадахгүй.
Тэнцэтгэл бишийн системийн шийдийг тоон шулуун дээр дүрслэхдээ хоёр шийдийн давхардсан хэсгүүд уул тэнцэтгэл бишийн шийд болно.
Уул тэнцэтгэл бишийн шийдийг бичихдээ  гэж бичиж болно. Хичээл №4. Квадрат язгуур 2*2=4; 3*3=9; 5*5=25; 12*12=144
 гэх мэтчилэн аливаа тоог өөрөөр нь үржүүлэхэд квадрат зэрэг дэвшүүлнэ гэж ярьдаг. Харин 4 ямар
тооны квадрат вэ? гэсэн асуулт гардаг. x*x=4  =4 болж, квадрат нь 4-тэй тэнцүү байх тоо –2 ба 2 болно.
-2*-2=4, 2*2=4.
Эндээс –2 ба 2 гэсэн тоог 4-ийн квадрат язгуур гэнэ. Тодорхойлолт:
а –эерэг тоо байг. Квадрат нь а –тай тэнцүү байх аливаа бодит тоог а тооны квадрат язгуур гэнэ. | Аливаа бүхэл тоог өөрийг нь өөрөөр нь үржүүлэхэд ямагт эерэг тоо гарах бөгөөд квадрат язгуур гаргах гэдэг маань зөвхөн эерэг тоонуудын хувьд яригддаг ухагдахуун юм. Тодорхойлолт:
a нь  байх бодит тоо байг. Квадрат нь а- тай тэнцүү байх сөрөг биш тоог арифметик квадрат язгуур гэж нэрлэдэг. | Аливаа эерэг бодит тооноос арифметик квадрат язгуур гаргахад ямагт эерэг сөрөг хоёр квадрат язгуур гарна. Тэгийн арифметик квадрат язгуур нь тэг өөрөө байна. Арифметик квадрат язгуур гаргахыг  тэмдэгээр тэмдэглэдэг. Энэ нь квадрат зэрэг дэвшүүлэхийн эсрэг үйлдэл юм.  энд 225 нь язгуурын тэмдэг доорх тоо болно. Арифметик Квадрат язгуурын тодорхойлолтоор а-гийн аливаа утгад  илэрхийлэл утгатай бол  тэнцэтгэл ямагт үнэн байна. Хичээл №5. x2 =a тэгшитгэл а нь дурын тоо байхад  тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ тэгшитгэлийг бодоход а тооноос хамаарч гурван тохиолдол гарна. Иймээс тэгшитгэлээ бодохын өмнө а ямар тоо болохыг ажиглах хэрэгтэй. 1. Хэрвээ а<0 бол тэгшитгэл язгуургүй байна. Аливаа бодит тооны квадрат нь ямагт эерэг тоо байх тул квадрат нь сөрөг байх бодит тоо байхгүй. 2. а=0 тохиолдолд тэгшитгэл 0-тэй тэнцүү ганц язгууртай байна.
Жишээ нь: |  тэгшитгэлийн язгуур нь x=0 байна.
| 3. Хэрэв а>0 бол тэгшитгэл хоёр язгууртай байна. тэгшитгэлийн язгуурыг  ба  гэвэл,  ,  байна.
Жишээ нь: | 1) | 
| тэгшитгэлийн язгуурыг олъё. | | 2) |  тэгшитгэлийн язгуур нь  ,  байх бөгөөд эдгээр нь иррациональ тоон язгуур юм.
| Хичээл №6. Квадрат язгуур гаргах алгоритм Эхлээд бүхэл тооноос квадрат язгуур гаргах тухай авч үзье.
45369 ба 399424 хоёр тооноос квадрат язгуур гаргая. Юуны өмнө өгсөн тоог хойноос нь нэгжийн орноос нь эхлэн зүүн тийш хоёр, хоёр орон таслан тэмдэгдэнэ.  ,  ингэж таслахад тооны эхэнд нь нэг юмуу хоёр оронтой тоо үлдэнэ. Эхэнд үлдсэн тоонд квадрат нь хамгийн ойр, гэхдээ энэ тооноос хэтрэхгүй натурал тоог сонгон авна.  э хний хоёр цифр 39-д квадрат нь хамгийн ойр байх тоо 6 байна. 6 нь олох язгуурын хамгийн эхний цифр болно. Энэ тоогоо тэнцүүгийн тэмдэгний баруун талд бичээд, түүнийг квадрат зэрэгт дэвшүүлээд өгсөн тооны эхний хоёр гишүүний дор бичиж хасна. Гарсан ялгаврын ард өгсөн тооны тэмдэглэсэн хэсгийн дараагийн хоёр цифрийг буулган бичнэ.
Дараа нь гарсан тооны өмнө босоо зураас зурж, зураасны зүүн талд тэнцүүгийн тэмдэгний баруун талын цифрийг хоёроор үржүүлж бичнэ.
| Босоо шугамын зүүн талд байгаа тооны ард нэг цифр залган бичиж, үүссэн тоогоо саяын залган бичсэн тоогоор үржүүлж. босоо шугмын баруун талд байгаа тооноос хасна. Тэгэхдээ үржвэр уг тоонд хамгийн ойр бөгөөд түүнээс хэтрэхгүй байхаар сонгож авна. | 
| Ингэж сонгож авсан цифр бидний олох язгуурын хоёрдугаар цифр нь болох ба энэ цифрээ түрүүчийн олсон цифрийн ард бичнэ. Ингэж сонгож авсан цифр бидний олох язгуурын хоёрдугаар цифр нь болох ба энэ цифрээ түрүүчийн олсон цифрийн ард бичнэ. | Энд гарсан ялгаврын ард дараагийн тэмдэглэсэн хоёр цифрийг буулгаж, гарсан тооны урд босоо шугам зурж, зүүн талд нь олох язгуурын эхний хоёр цифрийг хоёроор үржүүлж, босоо шугaмын зүүн талд бичнэ.
| Энэ гарсан тооны ард түрүүчийн адил нэг цифр залган бичиж, уг тоогоороо үржүүлж, босоо шугмын
баруун талд байгаа тооноос хасна. Энэ үржвэр мөн түрүүчийн адил босоо шугмын баруун талд байгаа илэрхийлэлд хамгийн ойр бөгөөд түүнээс хэтрэхгүй тоо байх ёстой гэдгийг санах хэрэгтэй. Залгаж бичсэн цифр маань олох гэж байгаа язгуурын эхнээсээ гуравдугаар цифр нь болно. | 
| Түүнийгээ тэнцүүгийн тэмдэгийн баруун талд байгаа хоёр тооны ард залган бичнэ. Хэрвээ язгуур гаргах гэж байгаа тоо бидний саяын жишээ авсан тооноос олон оронтой тоо байвал дараа дараагийн цифрийг энэ аргыг ашиглан олж болно. | Бутархай тооноос язгуур гаргах Бутархай тоо тооноос язгуур гаргахдаа эхлээд уг бутархайн бүхэл хэсгийг өмнөх бүхэл тооноос язгуур гаргадгийн адил хоёр хоёроор нь урагшаа бутархай хэсгийг хоёр хоёр орноор нь хойшоогоо таслан тэмдэглэнэ. Дараа нь бүхэл тооноос квадрат язгуур гаргадгийн адилаар аравтын бутархайгаас язгуур гаргах бөгөөд бүхэл хэгсгийн цифрүүд ашиглагдан дуусч, бутархай хэсгийн эхний хоёр цифрийг эхэлсний дараа таслалыг хэдэн бүхэл гарахыг тэмдэглэнэ.
Жишээ нь: | 457.96 тооноос язгуур гаргая. | 
| Энд 21 гарсны дараа таслалаас хойшхи хоёр орон ашиглагдаж байгаа учир 21 нь бүхэл хэсэг болж байна. Бүхэл тооны квадрат болдоггүй тооноос язгуур гаргахдаа түүний бутархай хэсэг нь дан тэг байдаг аравтын бутархай хэлбэрээр бичиж бодож болно.Аравтын бутархайгаас язгуур гаргах өөр нэг арга бол түүнийг аравтын тэгш зэргээр үржүүлж, хувааж өгөх замаар бүхэл тооноос язгуур гаргах юм. | Хичээл №7. Квадрат язгуур түүний ойролцоо утга Энэ хичээлээр бүхэл арифметик квадрат язгуургүй тооноос ойролцоогоор язгуурын утгыг хэрхэн олох талаар үзнэ. Үүний ойролцоо утга нь 2-3 хооронд оршино. Яагаад гэвэл бидний олох гэж байгаа тооны квадрат 7-д ойрхон бөгөөд түүнээс хэтрэхгүй тоо байх ёстой учир 3-аас бага тоо байна, харин 2-ийн квадрат нь 4 учраас түүнээс их тоо байна. Өөрөөр хэлбэл  байна гэсэн үг. 2 ба 3-ын хооронд орших тоонуудын квадратыг авч үзье.  ,  ,  ,  ,  ,  , 
2.6-ийн квадрат нь 7-оос бага, харин 2.7-ийн квадрат нь 7-оос их байх тул 2.6-г цааш үргэлжлүүлэн 2.61, 2.62, 2.63 …зэрэг тоонуудын квадрат зэргийг авч үзье.  ,  ,  ,  ,  энэ мэтчилэн цааш үргэлжлүүлэн бодвол энэ нь төгсгөлгүй аравтын бутархай гарна.
 =2.645751… шаардлагатай тохиолдолд энэ аргыг хэрэглэснээр бодит тоог жиших, нэмэж хасах зэрэг хийхэд хялбарчилдаг онцлогтой. Тооноос ойролцоо утга гаргахдаа таслалаас хойш нэг эсвэл хоёр орны нарийвчилалтай гаргахад хангалтай.
Жишээ нь: | 12+ 12+2.64 14.64 | Хичээл №8.  функц, түүний график тэгшитгэл х-ийн сөрөг биш утганд бодит тоон утга авах бөгөөд тодорхойлогдох муж нь  завсарт байгааг хялбар харж болно. Энэ функцийн графикийг зурахын тулд
1. х=0 үед у=0 байх тул график координатын эхийг дайрна.
2. х>0 үед  илэрхийлэл ямагт эерэг утга авах учир функцийн график координатын хавтгайн нэгдүгээр мөчид оршино. Графикийг байгуулахдаа хүснэгтийн аргыг ашиглан байгуулъя. Х-ийн оронд натурал тоог орлуулах ба тэдгээрийн ойролцоо утгыг 0.1 нарийвчлалтай авбал график байгуулахад арай хялбар болно.
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0 | 1 | 1.4 | 1.7 | 2 | 2.2 | 2.4 | 2.6 | 2.8 | 3 | Аргументийн утгаас хамаарч функцын утга өсч байгаа нь хүснэгтээс харагдаж байна. Иймээс өгөгдсөн функц маань өсөх функц байна.
| Хүснэгтэд өгөгдсөн цэгүүдийг координатын хавтгайд байгуулж , тэдгээрийг муруй шугмаар дарааллуулах холбовол функцын график гарна. а>0 байхад у=а шулуун энэ функцийн графикийг ямагт огтолно. Өөрөөр хэлбэл аливаа эерэг тоо энэ функцийн утга болж чадна. | Хичээл №9. Виетийн теором  тэгшитгэлийн язгуур нь 5 ба –1 байна. 5+(-1)=4, 5*(-1)=-5
 тэгшитгэлийн язгуур 2 ба –8 , 2+(- =-6, 2*(-=-16
 тэгшитгэлийн язгуур 2 ба 3, 2+3=5, 2*3=6
энд өгсөн тэгшитгэлvvдийн коэффициентvvд ба язгууруудыг харьцуулан ажиглавал язгууруудын нийлбэр нь хоёрдугаар коэффициентийн эсрэг тоотой, vржвэр нь сул гишvvнтэй тэнцvv байгааг хялбархан харж болно. Vvнээс үндэслэн аливаа эмхэтгэсэн квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр vржвэр нь энэ чанaрыг хадгалдаг юм биш байгаа гэсэн таамаглал гарна. Vvнийг vнэн гэдгийг харахын тулд баталгаа хийж үзье.
 эмхэтгэсэн квадрат тэгшитгэлийн дискриминант нь 0-ээс их vед  ба  гэсэн хоёр язгууртайг бид мэднэ. Эндээс язгууруудын нийлбэр ба үржвэрийг олбол
эндээс  ,  болж таамаглал зөв болж батлагдав. Энэ баталгаа нь Bиетийн теоремийн баталгаа юм. Теорем: Эмхэтгэсэн квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь хоёрдугаар коэффициентын эсрэг тоо, язгууруудын vржвэр нь сул гишvvнтэй харгалзан тэнцvv байна. Энэ теоремийг анх Францын математикч Франсуа Виетийн нэрээр нэрлэжээ. үүнээс  хэлбэрийн тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь  тэнцvv, язгууруудын үржвэр нь  -тай тэнцvv байна гэж мөрдөн гарна. 
Теорем: Хэрэв a, b хоёр тооны нийлбэр нь –р, тэдгээрийн үржвэр нь q тоотой тэнцvv байвал m ба n тоо  тэгшитгэлийн язгуур болно. Баталгаа: Теоремын өгсөн нөхцөл ёсоор, a+b=-p ба a*b=q учраас тэгшитгэлийн x-ийн оронд a-ийг орлуулбал: 
Иймээс,а тоо тэгшитгэлийн язгуур болно.үүнтэй адилаар, b тоо тэгшитгэлийн язгуур болохыг vзvvлж
болно.
Жишээ нь: |  тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр ба vржвэрийг олъё
| D=169+7*2*4=225 эерэг тоо гарч байгаа учир тэгшитгэл хоёр өөр язгууртай байна. Тэгшитгэлийн гишvvдийг 4-д хуваавал  эмхэтгэсэн квадрат тэгшитгэл гарна. Виетийн теорем ёсоор энэ тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр  , vржвэр нь  той тэнцvv. Иймээс энэ тэгшитгэлтэй тэнцvv чанартай тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр мөн , үржвэр нь -той тэнцүү байна. 
| | | | | Илэрхийллийн утгыг ол.
Бодолт: Үржвэрт байгаа тоонууд тус бүрдээ тооны квадрат тул язгууруудын үржвэр дүрсэд бичиж болно.
 ноогдворын утгыг ол.
Бодолт: 
 илэрхийллийг хялбарчил.
Бодолт:
 илэрхийллийн утгыг ол.
Бодолт: Илэрхийллийг ижил хуваарьт оруулъя.
 бутархайн хуваарийг рационалиас чөлөөл. Бодолт: Бутархайн хуваарьт байгаа илэрхийллийн хосмогоор үржүүлье.
 9-р анги Хичээл №1. Арифметик прогрессийн үндсэн ухагдахуун
Дараах жишээг шийдэх замаар энэ ухагдахуунтай танилцъя. Бодлого: Оюутны байрны нэг өрөөнд 4 оюутан амьдардаг бөгөөд мөн уг байрны дотоод ажлыг хариуцсан 10 ажилчин энэ байранд амьдардаг бол нийт өрөөний тооноос хамаарч хичнээн хүн оюутны байранд амьдарч болохыг функц хэлбэрээр илэрхийлье.
| Ажилчны тоо | 1 өрөө | 2 өрөө | 3 өрөө | 4 өрөө | …. | 30 өрөө | Хүний тоо | 10 | 14 | 18 | 22 | 16 | …. | 130 | Хэрвээ оюутны байрыг 30 өрөөтэй гэж үзвэл, нийт өрөөний тоог 4-өөр үржүүлж, түүн дээр 10-ийг нэмэхэд оюутны байранд амьдарч байгаа хүний тоо гарна.
30*4+10=120+10=130
Харин х өрөөтэй байхад оюутны байранд амьдрах хүний тоо нь: 10+30х болно. х нь ямагт натурал тоо байна . Дээрхи хүснэгтэд бичигдсэн тоонуудын хувьд хүснэгтний аль дараалсан нүдэнд байгаа тоонуудын эхний нүдэнд байгаа тоо нь дараагийн нүдэнд байгаа тооноосоо 4-р бага байна.
 тоонуудын аль дараалсан хоёр тооны хувьд дараах нь өмнөхөөсөө нэг тогтмол тоогоор ялгаатай бол түүнийг арифметик прогресс гэнэ.
| | Арифметик прогресс үүсгэж байгаа тоонуудыг түүний гишүүд гэнэ. | Жишээ нь: | 
| Дээрхи арифметик прогрессүүдийн а1;1; 2.6; 41 –ийг арифметик прогрессийн эхний гишүүн гэнэ. арифметик прогрессийн гишүүдийн баруун доод буланд бичигдсэн цифрийг гишүүний дугаар гэнэ.
Арифметик прогрессийн тодорхойлолтоор дараалсан гишүүдийн нэг нь нөгөөгөөсөө ялгагдаж байгаа тогтмол тоог арифметик прогрессийн ялгавар гэнэ. | 
| Энэ бичлэгээс ялгаврыг олбол 
 арифметик прогресс үүсгэдэг бол 
гэж тэмдэглэдэг. | | |
Арифметик прогресс
| Ялгавар | 
| 
| 
| 
| 
| 
| Хэрвээ ялгавар нь  бол өсөх,  бол буурах, d=0 бол тогтмол арифметик прогресс гэнэ. Хэрвээ арифметик прогрессийн гишүүдийн эцсийн гишүүн нь өгөгдсөн бол төгсгөлөг, гишүүдийн тоо нь тодорхойгүй тохиолдолд төгсгөлгүй арифметик прогресс гэж нэрлэдэг.
Жишээ нь:
| 1) 2.3, 5, 7.7, 10.4, 13.1, 15.8, 18.5, 21.2,….
2) 125,119,113,107,101, 95,89,83,…,11 гэсэн хоёр арифметик прогресс өгөгджээ. | 1-д; Өгөгдсөн арифметик прогрессийн ялгаврыг олбол, d=5-2.3=2.7 тул энэ арифметик прогресс өсөх, сүүлийн гишүүн нь тодорхойгүй байгаа учир төгсгөлгүй арифметик прогресс болно.
2-д; ялгавар нь d=119-125=-6 буюу 0-ээс бага тоо гарч байгаа учир буурах, сүүлийн гишүүн нь тодорхой байгаа нь ыы/11/ төгсгөлөг арифметик прогресс болохыг харуулж байна. | Хичээл №2. Арифметик прогрессийн чанар
Арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүний хувьд дараах хүснэгтийг авч үзье. Хүснэгтийн эхний багананд дараалсан гурван гишүүнээр ялгаврыг хэрхэн илэрхийлж болохыг үзүүлжээ. Дараагийн багананд ялгаврыг илэрхийлсэн тэнцэтгэлээс төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэж тэнцүүгийн тэмдэгний нэг талд ялгасан байна. Гуравдугаар багананд байгаа тэнцэтгэлээс дараалсан гурван гишүүний дундах гишүүнийг захын хоёр гишүүүнээр илэрхийлэн бичсэн байна. Ялгавар | | | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| . . . | . . . | . . . | 
| 
| 
| Дээрхи хүснэгтээс арифметик прогрессийн үндсэн чанрыг доорхи байдлаар томъёолж болно.
Арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүний дундах нь захын хоёр гишүүний арифметик дундажтай тэнцүү байна. |
Жишээ нь: | 1.5, 4, 6.5, 9, 11.5… энэ арифметик прогрессийн хувьд дээрхи чанар биелэх эсэхийг шалгая. 
| Өгөгдсөн тоонуудын дурын дараалсан гурван тооны захын хоёрын арифметик дундаж нь дундах гишүүнтэйгээ тэнцүү бол эдгээр тоонууд арифметик прогресс үүсгэнэ. | Өгсөн нөхцөл ёсоор дараалсан гишүүн бүр нь  ; ; ;...; -ийг хангадаг бөгөөд эдгээрийг  хэлбэрт бичвэл тэдгээрийн ялгавар нь зөвхөн ганц л тоотой тэнцүү болох нь харагдаж байна. Энэ тоо нь арифметик прогрессийн ялгавар d болж чадна. Учир нь эдгээр тоонууд хоорондоо тогтмол тоогоор ялгаатай байна. Иймээс өгсөн тоон дараалал арифметик прогресс болж байна. 
| Хичээл №3. Арифметик прогрессийн n-р гишүүний чанар
Арифметик прогрессийн эхний гишүүн ба ялгавар өгөгдсөн тохиолдолд n дүгээр гишүүнийг хэрхэн олох вэ? гэсэн асуултад хариулт өгөх замаар дараах нийлбэрүүдийг авч үзье. 
Эндээс арифметик прогрессийн n дүгээр гишүүн  нь  тэнцүү. Иймээс эхний гишүүн, ялгавар, дугаар гурваар арифметик прогрессийн аль ч гишүүн илэрхийлэгдэж болох нээ.  томъёог арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томъёо гэж нэрлэдэг.
Жишээ1: |  бол  -р гишүүнийг ол.
| | n=220, n-1=219 тул арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томъёонд бодлогын өгөгдсөн нөхцлүүдийг орлуулбал  болно. |
Жишээ 2: | 62.5 тоо нь  арифметик прогрессийн гишүүн болох уу? | Бодолт: Энэ бодлогийн  тул  тэгшитгэлийг хангах n олдох уу?гэсэн бодлого бодохтой адил юм.
Иймээс энэ арифметик прогрессийн тул арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томъёонд орлуулбал
| болох буюу 20-р гишүүн нь 62.5 болно. | Арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томъёонд хувиргалт хийвэл: 
хэлбэртэй болох бөгөөд энд дараах орлуулгийг хийе. 
болно. х нь арифметик прогрессийн гишүүний дугаарыг зааж байгаа учраас ямагт натурал тоо байна.
Арифметик прогрессийн гишүүд нь натурал тоон олонлог дээр тодорхойлогдсон шугаман функцийн утга мөн. | | Хичээл №4. Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр
Өөрөөр хэлбэл 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 гэсэн арифметик прогресс өгөгдсөг байг гэж үзье. Тэгвэл хоёр захаасаа ижил зайд алслагдсан 3 ба 8-ийн нийлбэрийг авч үзье. 3+8=11. Мөн захаасаа ижил зайд алслагдсан бусад цифрүүдийн нийлбэрийг авч үзье.
2+9=4+7=5+6=1+10=11 Эндээс доорхи дүгнэлтийг гаргаж болно.
Арифметик прогрессийн дараалсан n гишүүний хоёр захаасаа ижил зайд алслагдсан гишүүдийн нийлбэр захын хоёр гишүүний нийлбэртэй тэнцүү. 
| Одоо баталгааг авч үзье. 
буюу  болж батлагдаж байна.
Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг  гэж тэмдэглэвэл:
 буюу өөрөөр сүүлийн цифрээс нь нийлбэрийг бичиж
 тэдгээрийг хооронд нь нэмбэл эхний ба сүүлийн цифрийн нийлбэр хэлбэртэй n ширхэг нийлбэр гарна.  энд арифметик прогрессийн гишүүдийн хоёр захаасаа ижил зайд алслагдсан гишүүдийн нийлбэр тэнцүү гэдгээс  байна. иймээс эдгээрийн нийлбэр  тай тэнцүү.
нийлбэрээс  -ийг олбол
 гарна.
Үүнийг арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо гэнэ.
Жишээ нь: | 1, 2, 3, 4, …, 488, 489, 500 тоонуудын нийлбэрийг авч үзвэл, өмнөхийн адил алхам хийвэл 
|  томъёоны  -ийн оронд  томъёог орлуулбал:
 гарна.
Натурал тоон олонлогын эхний n ширхэг сондгой тооны нийлбэрийг олбол 
болно. | 
| Бодлого: Манай улсын нэгэн компани өөрийн орныхоо тамирчдын ур чадвар амжилтыг дээшлүүлэх
зорилгоор, дэлхийн аварга болсон тамирчдад 2001 онд 1 кг, 2002 онд 3 кг, 2003 онд 5 кг гэх мэтээр хагас зуун жил алтаар шагнах болжээ. Тэгвэл спортын нэгэн гол төрөл болох чөлөөт бөхийн тамирчдаас жилд 1 дэлхийн аварга төрж байсан гэж үзвэл тус компани зөвхөн чөлөөт 2051 онд хэдэн кг алт өгөх вэ? Хагас зуун жилийн турш хэдэн кг алт зарцуулсан бэ? Бөхийн тамирчдад хичнээн кг алт зарцуулсан бэ? Бодолт: 1+2*49=99
| кг алт зарцуулсан. | | 10-р анги Хичээл №1. Өнцгийг радианаар хэмжих Нэгж радиустай тойргийг тоон шулууны эх дээр сонгож авъя. Тойргийн төв О цэгээс тоон шулуун руу перпендикуляр буулгаж тэр цэгийг А гэе.
Тойргийг эргvvлж 1 цэгийн тойргийн шvргэгч болоход, тэр цэгийг А1 гэвэл, АА1 нумын урт 1 болно. Эндээс анх авсан тойргийн радиус, АА1 нумын урт хоёр тэнцvv болно.
Тойргийн радиустай тэнцvv урт бvхий нумд тулсан төв өнцгийг нэг радиан өнцөг гэнэ. Уул өнцөгт тулсан өнцгийг нэг радиан нум гэнэ. | Тойргийн урт  байдгийг бид мэднэ. Тэгвэл дээрхи тодорхойлолт ёсоор тойргийн төв өнцөг нь  радиан болно. Мөн бvтэн тойргийн төв өнцгийн градусан хэмжээ нь 360o байдгийг бид мэднэ.  болно. Синус, косинусын тодорхойлолт Ороолт буулгалтаар  тоонд тригонометр тойрогт Мх харгалздаг бол, Мх цэгийн ординатыг x тооны синус гээд sin x гэж тэмдэглэнэ. Мх цэгийн абсциссыг x тооны косинус гээд cos x гэж тэмдэглэдэг.
ОМХ=1 ба  гэдгээс Пифагорын теоремоор:  болох бөгөөд vvнийг тригонометрийн vндсэн адилтгал гэнэ. x тооны синусыг x тооны косинуст харьцуулсан харьцааг x тооны тангенс гэх бөгөөд tgx гэж тэмдэглэдэг. 
x тооны косинусыг х тооны синуст харьцуулсан харьцааг тооны котангенс гэх бөгөөд ctgx гэж тэмдэглэнэ.  Тригонометр функцийн тодорхойлогдох муж болон утгын мужийг дараах хvснэгтээс харж болно.
Функцийн нэр | sinx | cosx | tgx | ctgx | Тодорхойлогдох муж | 
|
| 
| 
| Утгын муж | 
|
|
|
| Эдгээр харьцаанаас 
Тригонометрийн vндсэн адилтгалын харьцааны хоёр талыг sin2x-д хуваавал 
тэнцэтгэл биелэнэ.
Тригонометрийн vндсэн адилтгалын харьцааны хоёр талыг cos2x-д хуваавал 
тэнцэтгэл биелэнэ.
 функцvvдийг харгалзан косеканс, секанс гэж нэрлэдэг бөгөөд  гэж тэмдэглэнэ. Тригонометр функцийн тэмдэг  
 
| I мөч | II мөч | III мөч | IV мөч | Зургаас харахад, x цэгт харгалзах абцисс, ординатын тэмдэгийг хялбар тодорхойлж болно. Харин тангенс, котангенсийн тэмдгийг синус косинусийн харьцаагаар гарах тэмдгээр тодорхойлно. | sin | + | + | - | - | cos | + | - | - | + | tg | + | - | + | - | ctg | + | - | + | - | Хичээл №2. Тригонометр функцийн тэгш сондгой байдал Нэгж радиустай тойрогт х=1 гэсэн шvргэгч шулуун татаад тэр шулууны тригонометр тойрогтой шvргэлцсэн цэгээс дээш дурын х урттай хэрчим тасалж аваад тvvнийг цагийн зvvний эсрэг чиглэлд эргvvлэн тригонометр тойргийг ороогоод тригонометр тойрогт харгалзах цэгийн абсцисс, ординатын харгалзах утга нь, шvргэгч шулууны тригонометр тойрогтой огтлолцсон цэгээс доош х урттай хэрчим таслаад тригонометр тойргийг цагийн зvvний дагуу тойруулан орооход х цэгийн харгалзах абсцисс болон ординатын эсрэг утгатай харгалзан тэнцvv байна. Өөрөөр хэлбэл х тоонд харгалзах косинусын утга нь -х харгалзах косинусын утгатай тэнцvv байна. Харин синусын хувьд х харгалзах синусийн утга нь -х харгалзах синусийн утгыг хасахаар авсантай тэнцvv.  Эндээс дараах теоремийг томъёолж болно.
Теорем: Дурын бодит тооны хувьд  адилтгалууд биелэнэ. Өөрөөр хэлбэл косинус тэгш функц, синус сондгой функц Жишээ нь:
a)  ийн утгыг олъё. 
b)  -ийн утгыг олъё.  Эмхэтгэлийн томъёо Зурагт х цэгийн анхны координат нь  байсан бол тvvнийг  -ээр эргvvлсний дараа х цэгийн координат  болж байна. Х цэгийн координатын өөрчлөлтийг  гэж тэмдэглэвэл  болох ба харгалзах координатуудыг тэнцvvлбэл 
-гээс их аргументтай аливаа тригонометр функцvvдийг  аргументтай тригонометр функцээр илэрхийлж болно. Ингэж -гээс их аргументтай аливаа тригонометр функцийг аргументтай тригонометр функцээр илэрхийлэх холбоог харуулах томъёог эмхтгэлийн томъёо гэж нэрлэдэг. Зургаас харахад нэгж тойрог дээр авсан нэг урт бүхий гипотенузтай тэгш өнцөгт гурвалжныг ,  ,  , өнцгvvдээр эргvvлэхэд гурвалжны х цэгийн харгалзах координатыг олбол дараах хvснэгтээс харж болно. Хэрвээ синус, косинус, тангенс, котангенс функцийн аргумент буюу гэсэн нэмэгдэхvvнvvдтэй байвал синус нь косинусаар косинус нь синусээр, тангенс нь котангенсаар, котангенс нь тангенсаар тус тус солигдоно.
Хэрэв синус, косинус, тангенс, котангенс функцийн аргумент нь , нэмэгдэхvvнтэй байвал синус, косинус, тангенс, котангенс нэрээ өөрчилөхгvй.
Синус, косинус, тангенс, котангенс функц эмхтгэгдэхдээ тэмдэг эмхтгэгдсэн синус, косинус, тангенс, котангенс функцийн тэмдэгээр тодорхойлогдоно. Тухайлбал  ба  нь гуравдугаар мөчид гарна.  ,  нь дөрөвдvгээр мөчид байна. Эмхтгэлийг томъёог ашиглан дурын мохоо өнцгийг хурц өнцгөөр илэрхийлж болно.
Жишээ:  | Хичээл №3. Хоёр бодит тооны нийлбэр, ялгаврын тригонометр функц Теорем: Дурын  гэсэн хоёр бодит тооны хувьд дараах адилтгал ямагт vнэн байна.
Санамж: Дээрхи теоремоос дараах мөрдөлгөөнvvд мөрдөн гарна.
Мөрдөлгөө:Дурын гэсэн хоёр бодит тооны хувьд  адилтгал биелэнэ. Мөрдөлгөө: Дурын  тооны хувьд:
адилтгалууд vнэн байна.
Жишээ:  Мөрдөлгөө: Дурын тооны хувьд
адилтгалууд vнэн байна. Мөрдөлгөө: Дурын  тоонуудын хувьд
тэнцэтгэл ямагт vнэн байна. Теорем: Дурын  тооны хувьд
 Жишээ:  Мөрдөлгөө: Дурын тооны хувьд
 
 Хичээл №4. Хоёрлосон өнцгийн тригонометр функц  нь юутай тэнцvv болохыг харъя.
Хагас өнцгийн тригонометр функц 
Гурвалсан өнцгийн тригонометр функц 
Vvнтэй адилаар  болохыг баталж болно. Vржвэрийг нийлбэр ялгаварт хувиргах: Дурын бодит тоонуудын хувьд дараах адилтгал биелэнэ. 
Адилтгалыг батлахыг тулд нийлбэр ялгаврын синусийн томъёог ашиглая. Эдгээр тэнцэтгэлийн хоёр талыг харгалзан нэмбэл:
 болж батлагдана. Мөрдөлгөө: Дурын бодит тоонуудын хувьд дараах адилтгалууд биелэнэ.
 Тригонометр функцийн нийлбэрийг vржвэрт хувиргах: Дурын бодит тоонуудын хувьд дараах адилтгал биелэнэ.
Энэ адилтгалыг батлахын тулд:
 хэлбэртэй бичээд ямар ч тоог нэмээд хасахад уг нийлбэр өөрчилөгдөхгүй.
 хэлбэрт бичвэл
 болно. Эдгээрийг харгалзуулан нэмбэл:  болж батлагдав. Мөрдөлгөө: Дурын бодит тоонуудын хувьд дараах адилтгалууд биелэнэ.
 Тайлбар толь Тангенс функц
Котангенс функц
 -косеканс ,  - секанс
 косинус бол тэгш функц, харин синус  сондгой функц
Эмхэтгэлийн томъёо
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| sin | cosa | cosa | sina | -sina | -cosa | -cosa | -sina | sina | cos | sina | -sina | -cosa | -cosa | -sina | sina | cosa | cosa | tg | ctga | -ctga | -tga | tga | ctga | -ctga | -tga | tga | ctg | tga | -tga | -ctga | ctga | tga | -tga | -ctga | ctga | Нийлбэрийн косинус, синусын томъёо:
Нийлбэрийн тангенсийн томъёо:
Давхар өнцгийн косинус функцийн томъёо:
Давхар өнцгийн синус функц
Хагас өнцгийн косинус:
Хагас өнцгийн синус
Хагас өнцгийн тангенс:
Косинус функцийн гурвалсан өнцгийнг дан өнцгөөр илэрхийлэх томъёо
Тригонометрийн функцийн үржвэрийг нийлбэрт хувиргах томъёо:
Синусуудын нийлбэрийг үржвэрт хувиргах томъёо:
Косинусуудын нийлбэрийг үржвэрт хувиргах томъёо:
 11-р анги Хичээл №1. Тригонометрийн урвуу функц Синусийн урвуу функц  ба  байх х тоог а тооны арксинус гэж нэрлээд  тэмдэглэдэг.
Арксинус нь синустэй харгалзан урвуу хамааралтай.
| 
|
| Тодорхойлогдох муж | 
|
| Утгын муж |
|
| Тэгш, сондгой эсэх | сондгой | сондгой | Доорхи хүснэгтээр функцийн зарим цэг дээрх утгуудыг харуулав. /хүснэгт 1/
Косинус функцийн урвуу функц
 ба  байх х тоог а тооны арккосинус гэж нэрлээд  гэж тэмдэглэнэ.
| 
|
| Тодорхойлогдох муж | 
|
| Утгын муж |
|
| Тэгш, сондгой эсэх | Тэгш ч биш сондгой ч биш | Тэгш ч биш, сондгой ч биш | функцийн зарим цэг дээрх утгуудыг дараах хүснэгтээс харж болно. /Хүснэгт 2/
Тангенс функцийн урвуу функц
 ба  байх х тоог а тооны арктангенс гэж нэрлээд  гэж тэмдэглэнэ.
| 
|
| Тодорхойлогдох муж | 
|
| Утгын муж |
|
| Тэгш сондгой эсэх | сондгой | сондгой | Тангенсийн урвуу функцийн зарим цэг дээрх утгууд /Хүснэгт 3/
Котангенс функцийн урвуу функц
 ба  байх х тоог а тооны арккотангенс гэж нэрлээд  гэж нэрлэнэ.
| 
|
| Тодорхойлогдох муж | 
|
| Утгын муж |
|
| Тэгш сондгой эсэх | Тэгш ч биш, сондгой ч биш | Тэгш ч биш, сондгой ч биш | функцийн зарим цэг дээрх утгууд /Хүснэгт 4/ Хичээл №2. Тригонометрийн хялбар тэгшитгэл Тригонометрийн функцийн аргументад нь vл оролцсон тэгшитгэлийг тригонометр тэгшитгэл гэнэ. (1) хэлбэрийн тэгшитгэлийн шийдийг яаж бичих талаар тайлбарлая.
а.  тохиолдолд өгөгдсөн тэгшитгэл шийдгvй.
б.  vед шийдтэй.
б.1.  vед (1)-ийн шийдийг
томъёогоор өгөгдөнө.
б.2. Синус функцийн шийдvvдийн онцгой тохиолдолийг авч vзье.
Жишээ:
Санамж: Тригонометрийн хялбар тэгшитгэлийн шийдийг бичихдээ а нь  гэсэн утгуудыг авах vед хүснэгт (1, 2, 3, 4)-ийг ашиглан шийдийг бичнэ. Бусад тохиолдолд тригонометрийн урвуу функцийг () ашиглан шийдийг бичнэ.
(2) хэлбэрийн тэгшитгэлийг бичихдээ:
а. тохиолдолд (2) шийдгvй.
б. vед шийдтэй.
б.1.  дvрстэй томъёогоор (2) тэгшитгэлийн
шийдийг өгнө.
б.2. Косинус функцийн шийдvvдийн онцгой тохиолдлыг авч vзье.
Жишээ:
 (3) тэгшитгэлийн шийдийг бичихдээ:
(4) хэлбэрийн тэгшитгэлийг бичихдээ:
 Хичээл №3. Тригонометрийн тэгшитгэл Тригонометрийн тэгшитгэлvvдийг
- Орлуулах
- Vржигдэхvvнд задлах
- Нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг бодох
- Туслах өнцөг оруулах гэх мэт
бодох аргууд байдаг бөгөөд эдгээр аргуудыг тус бvр нь ярилцах болно. Санамж: Тригонометрийн тэгшитгэлийг бодох нэгдсэн арга байдаггvй. Өгөгдсөн тэгшитгэлийн онцлогоос шалтгаалж янз бvрийг аргаар боддог.
Жишээ 1: (Тригонометрийн тэгшитгэлийг орлуулах аргаар бодох):
 гэсэн тэгшитгэлийг бодохдоо гэсэн хувьсагчийн оронд у гэсэн хувьсагч орлуулбал:
 гэсэн орлуулгаар өгөгдсөн тэгшитгэл  гэсэн квадрат тэгшитгэлд шилжинэ. Уг квадрат гурван гишvvнтийн шийд нь  болно.  эндээс уг хялбар тэгшитгэлийн шийдийг бичвэл:
 
Жишээ 2: (Vржигдэхvvнд задлах аргаар бодох):  тэгшитгэлийг бод.
Жишээ 3: (Vржигдэхvvнд задлах аргаар бодох):  тэгшитгэлийг бод.
 давхар өнцгийн чанрыг ашиглавал:
Жишээ 4: (Нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг бодох):  тэгшитгэлийг бод:
Өгөгдсөн тэгшитгэлийг бодохдоо  гэж үзвэл  болно. Гэтэл  -ийг хоёуланг нь нэгэн зэрэг тэг байлгах х-ийн утга олдохгvй. Иймд  гэж vзээд өгөгдсөн тэгшитгэлийн хоёр талыг  -д хувааж өгвөл
Жишээ 5:  тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг бодох аргаар бод.
тэгшитгэлд адилтгалыг ашиглан хувиргавал  нэгэн төрлийн тэгшитгэлд шилжинэ.
 Жишээ 6: (Vржвэрийг нийлбэрт (ялгаварт ), нийлбэрийг (ялгаврыг) vржвэрт хувиргаж бодох тэгшитгэл)  тэгшитгэлийг бод.
тэгшитгэлийг бодохдоо эхлээд хоёр талын vржвэрvvдийг нийлбэрт шилжvvлье.
 Жишээ 7: Ижил нэртэй болгоод vржвэрт шилжvvлэх:
 тэгшитгэлийг бодохдоо:
 -ийг ашиглавал
 Жишээ 8: Зэрэг бууруулах томъёог тригонометр тэгшитгэлд хэрэглэх:
 тэгшитгэлийг бодохдоо:
 томъёог ашиглаж тэгшитгэлд орлуулбал
Сэтгэгдэл үлдээх
{
Сүүлийн хуудас
} {
1
-р хуудас Нийт хуудасны тоо:
6
} {
Дараагийн хуудас
}
|
Миний талаар:
Холбоосууд
ogtorguin geometr
gurvaljin
bodloguud
Test
E sudalgaa
Zuvluguu
Kangaroo olimpiad bodloguud
Ангилалууд
tsahim hicheel
tsahim hereglegdehuun
Сүүлийн бичлэгүүд
hicheel
anhnii too
lavlah
hicheel
taraah material
zovlomj
Найзууд
|
