математик бол шинжлэх ухааны хаан

hicheel

Хичээл №1. Анхны ба зохиомол тоо

Бодлого: 20 ширхэг лийрийг хэдэн хvvхдэд тэнцvv тоотойгоор өгч болох вэ?

Бодолт: Нэг хvvхдэд бvх лийрийг өгч болно. Бас 2 хvvхдэд 10, 10-аар нь өгч болно. 4 хvvхдэд 5, 5-аар нь, 5 хvvхдэд 4, 4 -өөр нь, 10 хvvхдэд 2, 2-оор нь 20 хvvхдэд 1, 1–ээр нь өгч болно. Эндээс 20 гэдэг тоо маань 1, 2, 4, 5, 10, 20 гэсэн тоонуудад хуваагдах бөгөөд vлдсэн 3, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 зэрэг тоонуудад хуваагдаггvй байна.

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet2.jpg

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet2.jpg

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet2.jpg

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet2.jpg

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet2.jpg

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet4.gif

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet4.gif

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet2.jpg

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet2.jpg

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet2.jpg

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet2.jpg

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet2.jpg

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet2.jpg

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet2.jpg

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet2.jpg

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet2.jpg

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet2.jpg

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet4.gif

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet4.gif

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet2.jpg

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet2.jpg

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet2.jpg

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet2.jpg

http://too.mn/mathematic/5angi/sweet2.jpg

Тэгвэл 29 ширхэг лийрийг дээрхийн адил хэдэн хvvхдэд тэнцvv тоотойгоор өгч болох вэ?
Энэ тохиолдолд 1 хvvхдэд 29 ширхэг лийр, эсвэл 29 хvvхдэд 1 нэг, нэг лийр өгч болно гэсэн 2 тохиолдолтой. Харин 29 гэдэг тоо маань 1, 29 гэсэн хоёр тоонд хуваагддаг бөгөөд 29 хvртэлх бусад тоонуудад хуваагддаггvй.
 

Тодорхойлолт:
Натурал тоог ноогдвор нь бас натурал тоо байхаар vлдэгдэлгvй хуваах тоог тvvний хуваагч гэнэ.

Жишээ нь: 1, 2, 4, 5, 10, 20 тоонууд нь 20 тооны хуваагчид болно. Харин 29 нь нэг ба өөрөөсөө ялгаатай ямарч натурал тоон хуваагч vгvй байна.
 

Тодорхойлолт:
Нэг ба өөрөөсөө өөр натурал тоон хуваагчгvй тоог анхны тоо гэнэ. Энэ тоо нь ямар ч хоёр анхны тооны vржвэрт тавигдахгvй гэсэн vг.

Жишээ нь:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, 31, 33, 37, 41, 43 гэх мэт тоонууд анхны тоо
 

Тодорхойлолт:
Нэг ба өөрөөс нь ялгаатай натурал тоон хуваагчтай натурал тоог зохиомол буюу нийлмэл тоо гэнэ.

Зохиомол тоо бvр 1 ба уг тооны өөрөөс нь ялгаатай натурал тооны vржвэр дvрстэй тавигдана. Vvнийг уг тоо vржвэрт задарч байна гэнэ.
 

Тодорхойлолт:
Хэрвээ аливаа натурал тоо 2-т хуваагдаж байвал тэгш, 2-т хуваагдахгvй бол натурал тоог сондгой тоо натурал тоо гэнэ.

 

Натурал тооны ангиллыг зургаар vзvvлбэл:

 


 

Анхны тоо

 

Тэгш тоо

х

 

ц

Nатурал тоо

ч

ш

Зохиомол тоо

 

Сондгой тоо

Хичээл №2. Тооны хуваагдах шинж 

Аливаа зохиомол тоог анхны тоонуудын vржвэрт тавьж болно. Ийм vржвэрт тавихын тулд уг тоо ямар тоонд хуваагдахыг мэдэх хэрэгтэй. Өгсөн тоог шууд ямар тоонд хуваагдахыг мэдэх хялбар чанaруудтай танилцъя.

2: Аливаа тэгш натурал тоо 2-т хуваагддаг болохыг бид мэддэг болсон билээ.
0 буюу 5-аар төгссөн тоо 5-д хуваагдана.

10: 2 ба 5–д зэрэг хуваагдах тоо 10-д хуваагдана.
Тэгээр төгссөн тоо 10-аар төгссөн байна. 2*10=20

Аливаа тоог 10-аар vржvvлэхэд 0-ээр төгссөн тоо болно. Эндээс 0-ээр төгссөн аливаа тоо 10-т хуваагдана.

3: Өгсөн натурал тооны цифрvvдийн нийлбэр нь 3 ба 9-д хуваагдаж байвал уул тоо 3-т хуваагдана.
15: 5 ба 3-д зэрэг хуваагдах тоо 15-д хуваагдана.
6: Өгсөн натурал тоо 2 ба 3 –д зэрэг хуваагдаж байвал уул тоо 6-д хуваагдана.
9: Мөн цифрvvдийнх нийлбэр 9-д хуваагддаг тоо 9-д хуваагдана. 9-д хуваагддаг тоо болгон 3-д хуваагдана. Харин 3-т хуваагддаг тоо болгон 9-д хуваагдах албагvй.

4: Өгсөн тоо нь хоёр тэгээр төгссөн бөгөөд сvvлийн хоёр цифр нь 4 хуваагдаж байвал уул тоо 4-т хуваагдана.

8: Харин сvvлийн 3 орон нь 8-д хуваагддаг ба гурван тэгээр төгссөн тоо байвал уул тоо 8-д хуваагдана.
 

Жишээ нь:

http://too.mn/mathematic/5angi/pic03.gif

 хоёр тэгээр төгсөж байгаа учраас 4-т хуваагдана.

 

http://too.mn/mathematic/5angi/pic04.gif

48 нь 4-т хуваагдах учир уул өгөгдсөн тоо 4-т хуваагдана.


 
 
 

32: 8 ба 4-т зэрэг хуваагдах тоо 32-д хуваагдана.

7, 11, 13: 7,11, 13 зэрэг тоонуудад хуваагдах тоо нь, уул тооны цифрvvдийг эцсээс нь гурав гурваар нь тасалж + ба – тэмдэг сөөлжлvvлэн тавьж vйлдлийг гvйцэтгэхэд гарсан тоо 7/11,13 / 
тоонд хуваагдаж байвал уул тоо 7-д /11-д, 13-д / хуваагдана.
 

Жишээ нь:

http://too.mn/mathematic/5angi/pic05.gif

56487912 гэсэн тоо 7 хуваагдах vгvйг vзье. Эхлээд өгсөн тоог сvvлээс нь гурван орноор нь таслан ягаанаар тэмдэглэснийг нь +, хөхөөр тэмдэглэснийг нь –тэмдэгтэй гэж vзээд vйлдлийг гvйцэтгэе. 

 


 
 
 
 
 

912-487+56=481 энэ тоо нь 7 ба 11 хуваагдахгvй, харин 13-т хуваагдана.
Ийм учраас 56487912:13=4345224
Аливаа тоог ямар тоонд хуваагддаг болохыг мэдэхийн тулд дээрхи шинжvvдийг шалгаж vзэх хэрэгтэй. 
Хэрвээ хоёр натурал тооны хуваагдах шинжийг агуулсан тоо байвал уул хоёр тооны vржвэрт хуваагдана.
 

Жишээ нь:

112 гэсэн тоо 2 ба 7 гэсэн тоонуудын хуваагдах шинжvvдийг агуулсан байгаа учир эдгээр тоонуудын vржвэр буюу 14-т хуваагдана гэсэн vг.112:14=8 


 
 
 
Хичээл №3. Хамгийн их ерөнхий хуваагч

Бодлого: Муур багш 42 зvсэм бяслаг, 63 чавгийг хулгануудад тус бvрээс нь тэнцvv тэнцvv оногдохоор хувааж өгчээ. Муур багш хэдэн хулганатай байж болох вэ? Хамгийн олондоо хэдэн хулгана шавьтай байх боломжтой вэ?

Бодолт: 42 зvсэм бяслагыг хулгануудад тэнцvv хувааж өгөхөд, хулгануудад өгсөн бяслагны тоог хулганы тоогоор vржvvлэхэд 42 гарах ёстой. Мөн 63 чавгийг дээрхийн адил хулгануудад оногдсон чавганы тоог хулганы тоогоор vржvvлэхэд 63 гарах ёстой.

42-ын хуваагчид 1, 2, 3, 6, 7, 21, 42, 63-ын хуваагчид 1, 3, 7, 9, 21, 63 байна. Эндээс муур багш 1, 3, 7, 21 хулгана шавьтайтай байх боломжтой. Муур хамгийн ихдээ 21 хулгана шавьтай байна.
42 ба 63-ийн хуваагчдаас 1, 3, 7, 21 гэсэн тоонууд нь аль алийнх нь хуваагч болно. Эдгээрийг 42 ба 63-ийн ерөнхий хуваагчид гэнэ. 1, 3, 7, 21 хуваагчдын хамгийн ихийг буюу 21-ийг 42 ба 63-ийн хамгийн их ерөнхий хуваагч гэнэ. Хамгийн их ерөнхий хуваагчийг ХИЕХ гэж товчилдог бөгөөд 42 ба 63-ын хамгийн ерөнхий хуваагчийг
ХИЕХ(42;63)=21 гэж тэмдэглэдэг.

 

Жишээ нь:

150 ба 94-ийн хамгийн их ерөнхий хуваагчийг олбол:
150-ын хуваагчууд: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 , 50, 150
96-ийн хуваагчууд: 1, 2, 3, 4, 6, 8,12,16,18, 24, 32, 48, 96

энэ хоёр тооны ерөнхий хуваагч нь: 1,2,3,6 бөгөөд ХИЕХ(150;96)=6 байна. Vvнийг арай хялбар аргаар олж сурцгаая. Эхний жишээ дээр авч vзье.

ХИЕХ(42,63)=21
 

http://too.mn/mathematic/5angi/pic06.gif

http://too.mn/mathematic/5angi/pic07.gif

http://too.mn/mathematic/5angi/pic08.gif

http://too.mn/mathematic/5angi/pic09.gif

 

http://too.mn/mathematic/5angi/pic10.gif

ХИЕХ(140;84)=28

 

Хоёр тооны ХИЕХ нь бусад бvх ерөнхий хуваагчуудад хуваагдана. ХИЕХ-ийг олохдоо дараах диаграммын дагуу бодож олно.

http://too.mn/mathematic/5angi/pic11.gif

 

Тодорхойлолт:
Хоёр тоог анхны vржигдэхvvнд задлахад, 1-ээс өөр ерөнхий анхны тоон хуваагч байхгvй бол тэдгээрийн харилцан анхны тоо гэнэ.

Харилцан анхны хоёр тооны ХИЕХ нь 1 байна.
 

Жишээ нь:

16, 21 гэсэн хоёр тоо авч үзье. 16=2*2*2*2, 21=3*7 эдгээрт ерөнхий хуваагч байхгvй байгаа тохиолдолд 1 тоо нь эдгээр тоонуудын ХИЕХ болно.

Хоёр тооны нэг нь нөгөөдөө бvхлээрээ хуваагдаж байвал бага нь тэдгээрийн ХИЕХ болно.
 

http://too.mn/mathematic/5angi/pic12.gif

ХИЕХ(45;90)=45


 
 
Хичээл №4. Хамгийн бага ерөнхий хуваагдагч

Бодлого: Сургуулийн гадаахи талбайг гэрлээр чимэглэхийн тулд эгнээ бvрд 25 гэрэл, эсвэл эгнээ бvрд 30 гэрэл байхаар байрлуулахад аль алинд нь сондгойрохгүй таарч байв. Уг талбайд хамгийн багадаа хичнээн гэрэл байрлуулсан байж болох вэ?

Бодолт: Нийт гэрлийн тоо нь 25-ийг эгнээгээр vржvvлсэнтэй тэнцvv тул 25 нь гэрлийн тоон хуваагч байна. Vvнтэй адилаар гэрлийн тоо 30 бас хуваагдана гэсэн vг. Иймээс хамгийн цөөн гэрлийн тоо бол 25 ба 30-д хуваагддаг хамгийн бага тоо байна.
 

Өгөгдсөн тоо

25, 30-д хуваагдах тоонууд

Аль алинд нь хуваагдах тоо

Хамгийн бага 
хуваагддаг тоо

25

25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200, 225, 250, 275, 300 …

150, 300 

150

30

30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300

25 ба 30-ын аль алинд нь хуваагдах хамгийн бага тоог, тэдгээрийн хамгийн бага ерөнхий хуваагдагч гээд ХБЕХ гэж тэмдэглэдэг. 25 ба 30-ын хамгийн бага ерөнхий хуваагчийг ХБЕХ[25;30]=150 тэмдэглэнэ.
Одоо ХБЕХ-ийг яаж хялбараар олж болохыг vзье.
 

http://too.mn/mathematic/5angi/pic13.gif

Энэ жишээнээс харахад ягаанаар тэмдэглэсэн тоо буюу 5нь энэ хоёр тооны ХИЕХ болно. Харин 30-аас тэмдэглэгдээгvй vлдсэн 2, 3 vржигдэхvvнvvдийг 25-аар vржvvлэхэд энэ хоёр тооны ХБЕХ гарна. Тэгэхээр 25*2*3=150 гарна. Нөгөө талаас 25-аас тэмдэглэгдээгvй vлдсэн 5-ыг 30-аар vржvvлэхэд мөн адил энэ хоёр тооны ХБЕХ гарах ёстой. 

ХБЕХ[25:30]=5*30=150

Эндээс дvгнэлт хийвэл:
Хоёр тооны ХБЕХ-ыг олохдоо аль нэгнийх нь анхны тооны задаргаан дахь бvх анхны тоон vржигдэхvvнийг нөгөөгийнхөө задаргаанд оролцоогvй буюу илvv бvх анхны тоон үржигдэхvvнээр vржvvлсэнтэй тэнцvv байна.
 

Жишээ нь:

http://too.mn/mathematic/5angi/pic14.gif

ХБЕХ[84;63]=84*3=63*4=252
ХБЕХ-ийг олохдоо 84-ийн анхны тоон задаргаанд ороогvй, 63-ын анхны тоон задаргаанд орсон бvх анхны тоог 84-өөр үржүүлж байна.

ХБЕХ[24;72]=? 24 тоо нь өөрөө 72 –т бүхлээрээ хуваагдаж байна. Энэ тохиолдолд өгсөн тоонуудын 
хамгийн их нь ХБЕХ болно.
 

http://too.mn/mathematic/5angi/pic15.gif

Хэрвээ өгөгдсөн хоёр тооны нэг нөгөөдөө бүхлээрээ хуваагдаж байвал тэдгээрийн их ХБЕХ нь болно.

 

http://too.mn/mathematic/5angi/pic16.gif

Өгөгдсөн хоёр тоо маань харилцан анхны тоо учир тэдгээрийн ХБЕХ нь тэдгээрийн vржвэртэй тэнцvv байна.

ХБЕХ[9;8]=8*3*3=9*2*2*2=72

ХБЕХ-ийг хэд хэдэн тооны хувьд олж болдог.
ХБЕХ[12;8;6]=?
 

http://too.mn/mathematic/5angi/pic17.gif

12=2*3*28=2*2*26=2*3 12-ын анхны тоон задаргаа нь 6 –г бvхлээр нь багтаасан ба 8-ын анхны тоон 
задаргаанаас нэг 2-ын цифрээр дутуу байгаа учир 12-ийг 2-оор vржvvлэхэд эдгээр гурван тооны ХБЕХ гарна.

ХБЕХ[12;8;6]=12*2=8*3=6*2*2=24


 

7анги

 

 

 

Хичээл №1. Алгебрын илэрхийлэл

Математикийн нэг голлох салбарын нэг бол алгебр юм. Манай эриний IХ зууны үед Узбекийн нэрт математикч Мухаммед аль Хорезми математикийн нэг маягийн бодлого бодох ерөнхий арга хайж эцэст нь тэгшитгэлийн тухай сургаал байдлаар нэгэн шинэ нээлт хийж түүнийгээ алгебр /algebry/ гэж нэрлэсэн нь ийнхүү хэрэглэгдэх болжээ.

Бид ямар нэгэн бодлого бодохын тулд тоонуудын хооронд үйлдлийн тэмдгээр /нэмэх, хасах, үржих, 
хуваах / холбодог бөгөөд энэ үйлдлийн тэмдгээр холбогдсон илэрхийллийг алгебрын илэрхийлэл гэж нэрлэдэг.
 

Тодорхойлолт:
Үсэг болон тоонуудыг хооронд нь үйлдлийн тэмдгээр холбоход үүссэн илэрхийллийг алгебрын илэрхийлэл гэнэ.

 

Жишээ нь:

25х-ав,

 

http://too.mn/mathematic/6angi/pic23.gifалгебрийн илэрхийлэл нь нэг тоо ба нэг үсгээс тогтож болно. 
 

Жишээ нь:

х, у, 21, 

http://too.mn/mathematic/6angi/pic24.gif

 

Тодорхойлолт: Хэрвээ өгсөн алгебрийн илэрхийлэлд үсэг агуулсан хуваагч ороогүй байвал алгебрийн бүхэл илэрхийлэл гэнэ.

 

Жишээ нь:

5xy,

http://too.mn/mathematic/6angi/pic25.gif

0.001ab эдгээр нь алгебрын бүхэл илэрхийлэл

 

Тодорхойлолт:
Алгебрын илэрхийлэлд орсон үсгийн оронд ямар нэгэн тоо тавьж үйлдлийг гүйцэтгэхэд гарах тоог уг алгебрын илэрхийллийн тоон утга гэнэ.

 

y=8, a=2, b=3, c=6 үед

http://too.mn/mathematic/6angi/pic25.gif

илэрхийлллийн тоон утга нь

http://too.mn/mathematic/6angi/pic26.gif

тэнцүү.

Хичээл №2. Адилтгал тэнцүү илэрхийлэл, адилтгал хувиргалт 

5x+y, y+5x гэсэн хоёр илэрхийлэл байх сэлгэх хууль ёсоор нэгэн ижил утга авна. Энэ хоёр илэрхийлэл х ба у –ийн ямар утганд энэ илэрхийлэл утгатай байх вэ?

Тодорхойлолт:
Аливаа илэрхийллийг утгатай байлгадаг тоонуудын олонлогийг уг илэрхийллийн тодорхойлогдох муж гэнэ.

 

Жишээ нь:

5x+y илэрхийллийн тодорхойлогдох муж бүх тоо, харин http://too.mn/mathematic/6angi/pic177.gifилэрхийллийн тодорхойлогдох муж нь a= -5 оос бусад бүх тоон утганд энэ илэрхийлэл утгатай байна.

 

Тодорхойлолт:
Аливаа хоёр илэрхийлэл ижил тодорхойлогдох мужтай бөгөөд түүнд харъяалагдах тоо бүрийн хувьд ижил утга авдаг байвал эдгээрийг адилтгал тэнцүү илэрхийлэл гэнэ. Адилтгал тэнцүү илэрхийллүүдийг хооронд нь тэнцүүгийн тэмдгээр холбоход үүссэн тэнцэтгэлийг адилтгал гэнэ.

 

Жишээ нь:

http://too.mn/mathematic/6angi/pic178.gif,
http://too.mn/mathematic/6angi/pic179.gif

 

Тодорхойлолт:
Алгебрийн илэрхийллийг түүнтэй адилтгал тэнцүү илэрхийллээр солихыг адилтгал хувиргалт гэнэ.

Аливаа илэрхийллийн төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэх, хаалт нээх, байр сэлгэх зэрэг үйлдэл хийсний дараа гарах илэрхийлэл нь, анх өгсөн илэрхийлэлтэй адилтгал тэнцүү илэрхийлэл болно.

Жишээ нь:

45a-52a+8a-2b=(45a-52a+8a)-2b=a-2b
(45a-52a+8a)=a эндээс a нь 45а-52а+8а илэрхийлэлтэй адилтгал тэнцүү илэрхийлэл болно.

Хичээл №3. Нэг ба олон гишvvнт

 

Нэг гишvvнт

Олон гишvvнт


Суурийн тал нь 2 ба өндөр нь талтай, х2 өндөртэй тэгш өнцөгт паралельпипед хэлбэртэй усны лаазанд ямар хэмжээний ус орох вэ?

V=2х3
 


Хэрвээ уул усны лаазны өндөр нь 5 сантиметрээр нэмэгдсэн бол ямар хэмжээний ус орох вэ?

V=2x2(x+5)=2x3+10x2
 


Энэ хоёр илэрхийллийн хамгийн гол ялгаа нь эхнийх нь дан ганц үржвэрээс тогтсон байхад, олон гишүүнт гэсэн хэсэг үржвэрүүдийн нийлбэрээс тогтсон байгаад оршино.
 


Зөвхөн үржүүлэх, бүхэл зэрэгт дэвшүүлэх үйлдэл агуулсан алгебрын бүхэл илэрхийллийг нэг гишүүнт гэнэ.
 


Нэг гишүүнтийн нийлбэр илэрхийллийг олон гишүүнт гэнэ. Олон гишүүнтийг бүрдүүлж байгаа нэг гишүүнтийг түүний гишүүн гэнэ.
 


Нэг үсэг тоо, тэдгээрийн зэргийг нэг гишүүнт гэнэ.
 


Олон гишүүнтийг гишүүнийнх тоогоор хоёр, гурав, дөрвөн гишүүнт гэж нэрлэдэг. Нэг гишүүнтийг нэг гишүүнтэй олон гишүүнт гэж үзэж болно.
 


Нэг гишүүнтийн ижил төсөөтэй илэрхийллүүдийг эмхэтгэж бичихийг нэг гишүүнтийн стандарт дүрс гэнэ.

Жишээ нь: http://too.mn/mathematic/6angi/pic01.gif
 


Төсөөтэй гишүүн байхгүйгээс гадна гишүүн бүр нь стандарт дүрстэй олон гишүүнтийг стандарт дүрстэй олон гишүүнт гэнэ.

Жишээ нь: http://too.mn/mathematic/6angi/pic02.gifолон гишүүнтийг стандарт дүрсэд шилжүүлье. http://too.mn/mathematic/6angi/pic03.gif
 


Стандарт дүрстэй нэг гишүүнтийн тоон үржигдэхүүнийг нэг гишүүнтийн коэффициент гэнэ.

Жишээ нь: http://too.mn/mathematic/6angi/pic04.gif, http://too.mn/mathematic/6angi/pic05.gif,849a нэг гишүүнтүүдийн коэффициент нь харгалзан http://too.mn/mathematic/6angi/pic06.gif, 26, 846-тай тэнцүү
 


Стандарт дүрстэй олон гишүүнтийн гишүүдийн зэргийн хамгийн ихийг уг олон гишүүнтийн зэрэг гэнэ.

Жишээ нь: http://too.mn/mathematic/6angi/pic08.gifолон гишүүнтийн зэргийг олъё. Иймээс эхлээд гишүүн тус бүрийн зэргийг олно. http://too.mn/mathematic/6angi/pic09.gifгишүүний зэргийг олбол 1+1+7=9 болно.
http://too.mn/mathematic/6angi/pic10.gif-ийн зэрэг нь 3+1=4
http://too.mn/mathematic/6angi/pic11.gif-ийн зэрэг нь 1+2+4=7байна. Өгөгдсөн олон гишүүнтийн зэрэг нь 9 болно.
 


Нэг гишүүнтэд байгаа үсгүүдийн зэргийн илтгэгчүүдийн нийлбэрийг нэг гишүүнтийн зэрэг гэж нэрлэдэг.

 Жишээ нь: http://too.mn/mathematic/6angi/pic07.gifнэг гишүүнтийн зэрэг нь 4+2+1=7 болно.
 


Хэрэв нэг гишүүнт нь үсэг агуулаагүй бол тэг зэргийн олон гишүүнт гэнэ.
 


http://too.mn/mathematic/6angi/pic12.gif
 

Хичээл №4. Олон гишvvнтийг нэмэх хасах

Олон гишvvнтийг нэмэх:

Жишээ нь: http://too.mn/mathematic/6angi/pic13.gifолон гишүүнт дээр http://too.mn/mathematic/6angi/pic15.gifолон гишүүнтийг нэмэхдээ олон гишүүнт тус бүрийг хаалтанд хийж нэмэх тэмдэгээр холбоно. http://too.mn/mathematic/6angi/pic16.gifингэсний дараа тэдгээрийг хаалт задлах хуулиар задлана. http://too.mn/mathematic/6angi/pic17.gifодоо эндээс төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэнэ. нэмэх үйлдлийг хийж дууслаа.
 

Def

Олон гишүүнт дээр олон гишүүнтийг нэмэхдээ хаалтыг нээж орхиод төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэнэ.


Олон гишvvнтийг хасах:

http://too.mn/mathematic/6angi/pic18.gifолон гишүүнтээс http://too.mn/mathematic/6angi/pic19.gifолон гишүүтийг хасахдаа нэмэх үйлдлийн нэгэн адил тус бүрээр нэг хаалтанд хийж, хасах тэмдгээр холбож өгнө. Ингэсний дараа хасагдаж байгаа олон гишүүнтийг түүний эсрэг олон гишүүнтийг нэмж төсөөтэй гишүүнтийг эмхэтгэнэ.
 

Def

Олон гишүүнтээс олон гишүүнтийг хасахдаа хасагдагч олон гишүүнт дээр хасагч олон гишүүнтийг эсрэг олон гишүүнтийг нэмнэ.

Олон гишүүнтийн нэмэх хасах үйлдлийг баганан бичиглэлээр бичиж үйлдлийг гүйцэтгэж болно.

Жишээ нь: +http://too.mn/mathematic/6angi/pic20.gif  -http://too.mn/mathematic/6angi/pic21.gif  гэж өгсөн тохиолдолд ерөнхий тэмдгийг нэмэх болгоод хасагдагчийн эсрэг тоог нэмж өгнө.    http://too.mn/mathematic/6angi/pic22.gif

 

Тайлбар толь

Vсэг болон тоонуудыг хооронд нь үйлдлийн тэмдгээр холбоход үүссэн илэрхийллийг алгебрийн илэрхийлэл гэнэ.
 
Өгсөн алгебрийн илэрхийлэлд үсэг агуулсан хуваагч ороогүй байвал алгебрийн бүхэл илэрхийлэл гэнэ.
 
Алгебрийн илэрхийлэлд орсон үсгийн оронд ямар нэгэн тоо тавьж үйлдлийг гүйцэтгэхэд гарах тоог уг алгебрийн илэрхийллийн тоон утга гэнэ.
 
Аливаа илэрхийллийг утгатай байлгадаг тоонуудын олонлогийг уг илэрхийллийн тодорхойлогдох муж гэнэ.
 
Аливаа хоёр илэрхийлэл ижил тодорхойлогдох мужтай бөгөөд түүнд харъяалагдах тоо бүрийн хувьд ижил утга авдаг байвал эдгээрийг адилтгал тэнцүү илэрхийлэл гэнэ. Адилтгал тэнцүү илэрхийллүүдийг хооронд нь тэнцүүгийн тэмдгээр холбоход үүссэн тэнцэтгэлийг адилтгал гэнэ.
 
Алгебрийн илэрхийллийг түүнтэй адилтгал тэнцүү илэрхийллээр солихыг адилтгал хувиргалт гэнэ.
 
Зөвхөн үржүүлэх, бүхэл зэрэгт дэвшүүлэх үйлдэл агуулсан алгебрын бүхэл илэрхийллийг нэг гишүүнт гэнэ.
 
Нэг гишүүнтийн нийлбэр илэрхийллийг олон гишүүнт гэнэ. Олон гишүүнтийг бүрдүүлж байгаа нэг гишүүнтийг түүний гишүүн гэнэ.

8-р анги

Хичээл №1. Рациональ иллэрхийллийн адилтгал хувиргалт

Аливаа хоёр зүйлийг байрыг нь сэлгэж тавихад тэдгээрийн нийлбэр өөрчлөгдөхгүй гэдгийг бид мэдэх билээ. Мөн тэдгээрийн нийлбэрийн оронд үржвэр байхад байрыг сэлгэхэд үржвэрийн хэмжээ өөрчлөгдөхгүй.

ав=ва
а(в+с)=(в+с)а хоёр илэрхийлэл аливаа тоо болон илэрхийлэлийн хувьд үнэн байдгийг бид мэдэх билээ.
 

Жишээ нь: 

http://too.mn/mathematic/7angi/pic27.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic28.gif

Энэ хоёр адилтгалыг ашиглан аливаа илэрхийлэлийг хялбарчилж болно.

Аливаа тоо буюу илэрхийлэлийн хувьд дараах тэнцэтгэл үнэн.
 

1.

http://too.mn/mathematic/7angi/pic29.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic36.gif

2.

http://too.mn/mathematic/7angi/pic30.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic37.gif

3.

http://too.mn/mathematic/7angi/pic31.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic38.gif

4.

http://too.mn/mathematic/7angi/pic32.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic39.gif

5.

http://too.mn/mathematic/7angi/pic33.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic40.gif

6.

http://too.mn/mathematic/7angi/pic34.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic41.gif

7.

http://too.mn/mathematic/7angi/pic35.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic42.gif

Аливаа тоо болон илэрхийллийн хувьд дараах тэнцэтгэл биелэнэ.
 

1.

http://too.mn/mathematic/7angi/pic43.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic44.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic51.gif

2.

http://too.mn/mathematic/7angi/pic45.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic44.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic52.gif

3.

http://too.mn/mathematic/7angi/pic46.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic44.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic53.gif

4.

http://too.mn/mathematic/7angi/pic47.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic48.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic54.gif

5.

http://too.mn/mathematic/7angi/pic49.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic50.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic55.gif

Энд мөн өмнө үзсэн 7 томъёог ашиглан илэрхийллийг хувирган хурааж болно.

Жишээ нь: 

http://too.mn/mathematic/7angi/pic56.gif
 

Хичээл №2. Тэгшитгэл, түүний систем

Бодлого: 72 см периметртэй тэгш өнцөгтийн хоёр талын нийлбэр нь 31 см бол тэгш өнцөгтийн талуудыг ол.

Энэ бодлогийг бодохын тулд ямар арга хэрэглэх вэ? Яаж бодох вэ? Гэсэн асуултууд гарна. Иймээс өнөөдөр энэ хэлбэрийн бодлого бодоход хувьсагч оруулж бодох аргатай танилцах болно.

Тоон илэрхийлэлд ямар нэгэн х хувьсагч байх ах=в тэнцэтгэлийг нэг хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл
гэнэ. Х хувьсагчийн шийдийг олох, эсвэл шийдгvйг харуулахыг тэгшитгэлийг бодох гэнэ.

Тэгшитгэлийг бодохдоо:

Бутархай хэлбэртэй бол хуваариас чөлөөлөх Шаардлагатай үед хаалт задалж, төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэх Тоон тэнцэтгэлийн чанрын дагуу хувьсагчтай хэсгийг тэнцэтгэлийн тэмдэгийн хоёр талд ялгаж бичих Ах=в хэлбэрийн тэгшитгэлийг бодож шийдийг олох

Жишээ нь:

http://too.mn/mathematic/7angi/pic57.gif

х ба у нь хувьсагч, а,в ба с нь тоо байх ах+ву=с хэлбэрийн тэгшитгэлийг хоёр хувсагчтай шугаман тэгшитгэл гэнэ. Хоёр шугаман тэгшитгэлд орсон х ба у нэгэн ижил хэмжигдэхүүнийг тэмлэглэсэн үед уг хоёр тэгшитгэл систем үүсгэнэ. Системд орсон тэгшитгэл бүрйиг хангах тоог системийн шийд гэнэ.Тэгшитгэлийн системийг орлуулах, нэмэх, графикийн аргаар бодож болдог.
 

Жишээ 1:

Орлуулах аргаар

 

http://too.mn/mathematic/7angi/pic59.gif

=>

http://too.mn/mathematic/7angi/pic60.gif

=>

http://too.mn/mathematic/7angi/pic61.gif

=>

http://too.mn/mathematic/7angi/pic62.gif

=>

http://too.mn/mathematic/7angi/pic63.gif

=>

http://too.mn/mathematic/7angi/pic64.gif

 

 

Жишээ 2:

Нэмэх аргаар

 

http://too.mn/mathematic/7angi/pic65.gif

=>

http://too.mn/mathematic/7angi/pic66.gif

1-р тэгшитгэлийн хоёр талыг 2-р үржүүлээд 2-р тэгшитгэл дээр нэмье. 

http://too.mn/mathematic/7angi/pic67.gif

=>

x=5

олсон утгаа өгөгдсөн хоёр тэгшитгэлийн аль нэг тэгшитгэлд нь орлуулж у-ийн утгыг олно. 

 

5=2+y 

y=3

=>

http://too.mn/mathematic/7angi/pic68.gif

 

 

Жишээ 3:

Графикийн аргаар

 

http://too.mn/mathematic/7angi/pic70.gif

=>

http://too.mn/mathematic/7angi/pic71.gif

энэ хоёр функцийн графикийг байгуулаад хоёр функцийн графикийн огтлолцын цэг нь энэ тэгшитгэлийн системийн шийд болно.

 

x=0 үед y=-2; y=0 үед координатын тоон тэнхлэгийн эдгээр цэгүүдийг дайрах шулуунууд байна. эдгээрийн огтлолын цэг нь уул тэгшитгэлийн системийн шийд болно. Oгтлолын цэг нь y=3, x=5 +- болж дээрх хоёр аргаар бодсонтой хариу нь нийлж байна.

http://too.mn/mathematic/7angi/pic73.gif

 

Хичээл №3. Тэнцэтгэл биш, түүний систем 

а, в нь ямар нэгэн тоо, х нь хувьсагч байх ах>в буюу ах<в дүрстэй тэнцэтгэл бишийг шугаман тэнцэтгэл 
биш гэнэ. Нэг хувьсагчтай тэнцэтгэл бишийн хувьсагчийн оронд тавихад үнэн тоон тэнцэтгэл биш гардаг хувьсагчийн утгыг түүний шийд гэнэ.
 

Жишээ №1:

http://too.mn/mathematic/7angi/pic75.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic74.gif

2-оос их тоонууд нь энэ тэнцэтгэл бишийн шийд болно.
Уг тэнцэтгэл бишийн шийдийг тоон шулуун дээр дээрхийн адил дүрсэлж болно.

Системийн тэнцэтгэл биш тус бүрийг нэгэн зэрэг зөв тоон тэнцэтгэл биш болгох хувьсагчийн утгыг 
системийн шийд гэнэ. Системийн шийдийг олох буюу шийдгүй гэдгийг тогтоохыг тэнцэтгэл бишийн 
системийг бодох гэнэ.
 

Жишээ №2:

 

http://too.mn/mathematic/7angi/pic78.gif

=>

http://too.mn/mathematic/7angi/pic79.gif

=>

http://too.mn/mathematic/7angi/pic80.gif

=>

http://too.mn/mathematic/7angi/pic81.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic82.gif

2 нь х-ээс их буюу тэнцүү гэсэн учир 2 өөрөө энэ тэнцэтгэл бишийн шийд болж чадна. Яагаад гэвэл 2 өөрөө х-тэй тэнцүү байж болох учраас ... Харин -3 нь х-ээс эрс бага гэсэн байгаа тул -3 өөрөө тэнцэтгэл бишийн системийн шийд болж чадахгүй.
Тэнцэтгэл бишийн системийн шийдийг тоон шулуун дээр дүрслэхдээ хоёр шийдийн давхардсан хэсгүүд уул тэнцэтгэл бишийн шийд болно.
Уул тэнцэтгэл бишийн шийдийг бичихдээ http://too.mn/mathematic/7angi/pic83.gif гэж бичиж болно.

Хичээл №4. Квадрат язгуур

2*2=4; 3*3=9; 5*5=25; 12*12=144
http://too.mn/mathematic/7angi/pic169.gif

гэх мэтчилэн аливаа тоог өөрөөр нь үржүүлэхэд квадрат зэрэг дэвшүүлнэ гэж ярьдаг. Харин 4 ямар
тооны квадрат вэ? гэсэн асуулт гардаг.

x*x=4 http://too.mn/mathematic/7angi/x2.gif=4 болж, квадрат нь 4-тэй тэнцүү байх тоо –2 ба 2 болно.
-2*-2=4, 2*2=4.
Эндээс –2 ба 2 гэсэн тоог 4-ийн квадрат язгуур гэнэ.

Тодорхойлолт:
а –эерэг тоо байг. Квадрат нь а –тай тэнцүү байх аливаа бодит тоог а тооны квадрат язгуур гэнэ.

 

http://too.mn/mathematic/7angi/pic170.gif

 

http://too.mn/mathematic/7angi/pic171.gif

Аливаа бүхэл тоог өөрийг нь өөрөөр нь үржүүлэхэд ямагт эерэг тоо гарах бөгөөд квадрат язгуур гаргах гэдэг маань зөвхөн эерэг тоонуудын хувьд яригддаг ухагдахуун юм.

Тодорхойлолт:
a нь http://too.mn/mathematic/7angi/pic172.gifбайх бодит тоо байг. Квадрат нь а- тай тэнцүү байх сөрөг биш тоог арифметик квадрат язгуур гэж нэрлэдэг.

Аливаа эерэг бодит тооноос арифметик квадрат язгуур гаргахад ямагт эерэг сөрөг хоёр квадрат язгуур гарна.

Тэгийн арифметик квадрат язгуур нь тэг өөрөө байна.

Арифметик квадрат язгуур гаргахыг http://too.mn/mathematic/7angi/pic173.gifтэмдэгээр тэмдэглэдэг. Энэ нь квадрат зэрэг дэвшүүлэхийн эсрэг үйлдэл юм. http://too.mn/mathematic/7angi/pic174.gifэнд 225 нь язгуурын тэмдэг доорх тоо болно.

Арифметик Квадрат язгуурын тодорхойлолтоор а-гийн аливаа утгад http://too.mn/mathematic/7angi/pic175.gifилэрхийлэл утгатай бол http://too.mn/mathematic/7angi/pic176.gifтэнцэтгэл ямагт үнэн байна.

Хичээл №5. x2 =a тэгшитгэл

а нь дурын тоо байхад http://too.mn/mathematic/7angi/pic136.gif тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ тэгшитгэлийг бодоход а тооноос хамаарч гурван тохиолдол гарна. Иймээс тэгшитгэлээ бодохын өмнө а ямар тоо болохыг ажиглах хэрэгтэй.

1. Хэрвээ а<0 бол http://too.mn/mathematic/7angi/pic136.gif тэгшитгэл язгуургүй байна. Аливаа бодит тооны квадрат нь ямагт эерэг тоо байх тул квадрат нь сөрөг байх бодит тоо байхгүй.

2. а=0 тохиолдолд http://too.mn/mathematic/7angi/pic136.gif тэгшитгэл 0-тэй тэнцүү ганц язгууртай байна.
 

Жишээ нь:

http://too.mn/mathematic/7angi/pic137.gifтэгшитгэлийн язгуур нь x=0 байна.

3. Хэрэв а>0 бол http://too.mn/mathematic/7angi/pic136.gif тэгшитгэл хоёр язгууртай байна. http://too.mn/mathematic/7angi/pic136.gif тэгшитгэлийн язгуурыг http://too.mn/mathematic/7angi/pic138.gif ба http://too.mn/mathematic/7angi/pic139.gif гэвэл, http://too.mn/mathematic/7angi/pic140.gifhttp://too.mn/mathematic/7angi/pic141.gif байна.
 

Жишээ нь:

1)

http://too.mn/mathematic/7angi/pic142.gif

тэгшитгэлийн язгуурыг олъё.

 

http://too.mn/mathematic/7angi/pic143.gif

 

http://too.mn/mathematic/7angi/pic144.gif

 

 

2)

http://too.mn/mathematic/7angi/pic145.gifтэгшитгэлийн язгуур нь http://too.mn/mathematic/7angi/pic146.gifhttp://too.mn/mathematic/7angi/pic147.gif байх бөгөөд эдгээр нь иррациональ тоон язгуур юм.

Хичээл №6. Квадрат язгуур гаргах алгоритм

Эхлээд бүхэл тооноос квадрат язгуур гаргах тухай авч үзье.
45369 ба 399424 хоёр тооноос квадрат язгуур гаргая. Юуны өмнө өгсөн тоог хойноос нь нэгжийн орноос нь эхлэн зүүн тийш хоёр, хоёр орон таслан тэмдэгдэнэ.

http://too.mn/mathematic/7angi/pic125.gifhttp://too.mn/mathematic/7angi/pic126.gif ингэж таслахад тооны эхэнд нь нэг юмуу хоёр оронтой тоо үлдэнэ. Эхэнд үлдсэн тоонд квадрат нь хамгийн ойр, гэхдээ энэ тооноос хэтрэхгүй натурал тоог сонгон авна. http://too.mn/mathematic/7angi/pic127.gifэ хний хоёр цифр 39-д квадрат нь хамгийн ойр байх тоо 6 байна. 6 нь олох язгуурын хамгийн эхний цифр болно. Энэ тоогоо тэнцүүгийн тэмдэгний баруун талд бичээд, түүнийг квадрат зэрэгт дэвшүүлээд өгсөн тооны эхний хоёр гишүүний дор бичиж хасна. Гарсан ялгаврын ард өгсөн тооны тэмдэглэсэн хэсгийн дараагийн хоёр цифрийг буулган бичнэ.
 

http://too.mn/mathematic/7angi/pic128.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic129.gif

Дараа нь гарсан тооны өмнө босоо зураас зурж, зураасны зүүн талд тэнцүүгийн тэмдэгний баруун талын цифрийг хоёроор үржүүлж бичнэ.
 

http://too.mn/mathematic/7angi/pic130.gif

Босоо шугамын зүүн талд байгаа тооны ард нэг цифр залган бичиж, үүссэн тоогоо саяын залган бичсэн тоогоор үржүүлж. босоо шугмын баруун талд байгаа тооноос хасна. Тэгэхдээ үржвэр уг тоонд хамгийн ойр бөгөөд түүнээс хэтрэхгүй байхаар сонгож авна.

 

http://too.mn/mathematic/7angi/pic132.gif

Ингэж сонгож авсан цифр бидний олох язгуурын хоёрдугаар цифр нь болох ба энэ цифрээ түрүүчийн олсон цифрийн ард бичнэ. Ингэж сонгож авсан цифр бидний олох язгуурын хоёрдугаар цифр нь болох ба энэ цифрээ түрүүчийн олсон цифрийн ард бичнэ.

Энд гарсан ялгаврын ард дараагийн тэмдэглэсэн хоёр цифрийг буулгаж, гарсан тооны урд босоо шугам зурж, зүүн талд нь олох язгуурын эхний хоёр цифрийг хоёроор үржүүлж, босоо шугaмын зүүн талд бичнэ. 
 

http://too.mn/mathematic/7angi/pic133.gif

Энэ гарсан тооны ард түрүүчийн адил нэг цифр залган бичиж, уг тоогоороо үржүүлж, босоо шугмын 
баруун талд байгаа тооноос хасна. Энэ үржвэр мөн түрүүчийн адил босоо шугмын баруун талд байгаа илэрхийлэлд хамгийн ойр бөгөөд түүнээс хэтрэхгүй тоо байх ёстой гэдгийг санах хэрэгтэй. Залгаж бичсэн цифр маань олох гэж байгаа язгуурын эхнээсээ гуравдугаар цифр нь болно.

 

http://too.mn/mathematic/7angi/pic134.gif

Түүнийгээ тэнцүүгийн тэмдэгийн баруун талд байгаа хоёр тооны ард залган бичнэ. Хэрвээ язгуур гаргах гэж байгаа тоо бидний саяын жишээ авсан тооноос олон оронтой тоо байвал дараа дараагийн цифрийг энэ аргыг ашиглан олж болно.

Бутархай тооноос язгуур гаргах

Бутархай тоо тооноос язгуур гаргахдаа эхлээд уг бутархайн бүхэл хэсгийг өмнөх бүхэл тооноос язгуур гаргадгийн адил хоёр хоёроор нь урагшаа бутархай хэсгийг хоёр хоёр орноор нь хойшоогоо таслан тэмдэглэнэ. Дараа нь бүхэл тооноос квадрат язгуур гаргадгийн адилаар аравтын бутархайгаас язгуур гаргах бөгөөд бүхэл хэгсгийн цифрүүд ашиглагдан дуусч, бутархай хэсгийн эхний хоёр цифрийг эхэлсний дараа таслалыг хэдэн бүхэл гарахыг тэмдэглэнэ.
 

Жишээ нь:

457.96 тооноос язгуур гаргая. 

http://too.mn/mathematic/7angi/pic135.gif

Энд 21 гарсны дараа таслалаас хойшхи хоёр орон ашиглагдаж байгаа учир 21 нь бүхэл хэсэг болж байна. Бүхэл тооны квадрат болдоггүй тооноос язгуур гаргахдаа түүний бутархай хэсэг нь дан тэг байдаг аравтын бутархай хэлбэрээр бичиж бодож болно.Аравтын бутархайгаас язгуур гаргах өөр нэг арга бол түүнийг аравтын тэгш зэргээр үржүүлж, хувааж өгөх замаар бүхэл тооноос язгуур гаргах юм.

Хичээл №7. Квадрат язгуур түүний ойролцоо утга 

Энэ хичээлээр бүхэл арифметик квадрат язгуургүй тооноос ойролцоогоор язгуурын утгыг хэрхэн олох талаар үзнэ.

Үүний ойролцоо утга нь 2-3 хооронд оршино. Яагаад гэвэл бидний олох гэж байгаа тооны квадрат 7-д ойрхон бөгөөд түүнээс хэтрэхгүй тоо байх ёстой учир 3-аас бага тоо байна, харин 2-ийн квадрат нь 4 учраас түүнээс их тоо байна. Өөрөөр хэлбэл http://too.mn/mathematic/7angi/pic149.gif байна гэсэн үг. 2 ба 3-ын хооронд орших тоонуудын квадратыг авч үзье. 

http://too.mn/mathematic/7angi/pic150.gifhttp://too.mn/mathematic/7angi/pic151.gifhttp://too.mn/mathematic/7angi/pic152.gifhttp://too.mn/mathematic/7angi/pic153.gifhttp://too.mn/mathematic/7angi/pic154.gifhttp://too.mn/mathematic/7angi/pic155.gifhttp://too.mn/mathematic/7angi/pic156.gif

2.6-ийн квадрат нь 7-оос бага, харин 2.7-ийн квадрат нь 7-оос их байх тул 2.6-г цааш үргэлжлүүлэн 2.61, 2.62, 2.63 …зэрэг тоонуудын квадрат зэргийг авч үзье. 

http://too.mn/mathematic/7angi/pic157.gifhttp://too.mn/mathematic/7angi/pic158.gifhttp://too.mn/mathematic/7angi/pic159.gifhttp://too.mn/mathematic/7angi/pic160.gifhttp://too.mn/mathematic/7angi/pic161.gif энэ мэтчилэн цааш үргэлжлүүлэн бодвол энэ нь төгсгөлгүй аравтын бутархай гарна.
http://too.mn/mathematic/7angi/pic162.gif=2.645751… шаардлагатай тохиолдолд энэ аргыг хэрэглэснээр бодит тоог жиших, нэмэж хасах зэрэг хийхэд хялбарчилдаг онцлогтой. Тооноос ойролцоо утга гаргахдаа таслалаас хойш нэг эсвэл хоёр орны нарийвчилалтай гаргахад хангалтай.
 

Жишээ нь:

12+ http://too.mn/mathematic/7angi/pic162.gif12+2.64http://too.mn/mathematic/7angi/pic163.gif14.64

Хичээл №8. http://too.mn/mathematic/7angi/pic164.gif функц, түүний график

http://too.mn/mathematic/7angi/pic164.gifтэгшитгэл х-ийн сөрөг биш утганд бодит тоон утга авах бөгөөд тодорхойлогдох муж нь http://too.mn/mathematic/7angi/pic165.gif завсарт байгааг хялбар харж болно.

Энэ функцийн графикийг зурахын тулд
1. х=0 үед у=0 байх тул график координатын эхийг дайрна.
2. х>0 үед http://too.mn/mathematic/7angi/pic166.gif илэрхийлэл ямагт эерэг утга авах учир функцийн график координатын хавтгайн нэгдүгээр мөчид оршино.

Графикийг байгуулахдаа хүснэгтийн аргыг ашиглан байгуулъя. Х-ийн оронд натурал тоог орлуулах ба тэдгээрийн ойролцоо утгыг 0.1 нарийвчлалтай авбал график байгуулахад арай хялбар болно.
 

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

http://too.mn/mathematic/7angi/pic166.gif

0

1

1.4

1.7

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

Аргументийн утгаас хамаарч функцын утга өсч байгаа нь хүснэгтээс харагдаж байна. Иймээс өгөгдсөн функц маань өсөх функц байна.
 

http://too.mn/mathematic/7angi/pic168.gif

Хүснэгтэд өгөгдсөн цэгүүдийг координатын хавтгайд байгуулж , тэдгээрийг муруй шугмаар дарааллуулах холбовол http://too.mn/mathematic/7angi/pic164.gifфункцын график гарна. а>0 байхад у=а шулуун энэ функцийн графикийг ямагт огтолно. Өөрөөр хэлбэл аливаа эерэг тоо энэ функцийн утга болж чадна.

Хичээл №9. Виетийн теором

http://too.mn/mathematic/7angi/pic84.gifтэгшитгэлийн язгуур нь 5 ба –1 байна. 5+(-1)=4, 5*(-1)=-5
http://too.mn/mathematic/7angi/pic85.gifтэгшитгэлийн язгуур 2 ба –8 , 2+(-Cool=-6, 2*(-Cool=-16
http://too.mn/mathematic/7angi/pic86.gifтэгшитгэлийн язгуур 2 ба 3, 2+3=5, 2*3=6
энд өгсөн тэгшитгэлvvдийн коэффициентvvд ба язгууруудыг харьцуулан ажиглавал язгууруудын нийлбэр нь хоёрдугаар коэффициентийн эсрэг тоотой, vржвэр нь сул гишvvнтэй тэнцvv байгааг хялбархан харж болно. Vvнээс үндэслэн аливаа эмхэтгэсэн квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр vржвэр нь энэ чанaрыг хадгалдаг юм биш байгаа гэсэн таамаглал гарна. Vvнийг vнэн гэдгийг харахын тулд баталгаа хийж үзье.
http://too.mn/mathematic/7angi/pic87.gifэмхэтгэсэн квадрат тэгшитгэлийн дискриминант нь 0-ээс их vед http://too.mn/mathematic/7angi/pic88.gif ба http://too.mn/mathematic/7angi/pic89.gif гэсэн хоёр язгууртайг бид мэднэ. Эндээс язгууруудын нийлбэр ба үржвэрийг олбол 

http://too.mn/mathematic/7angi/pic90.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic91.gif

эндээс http://too.mn/mathematic/7angi/pic92.gifhttp://too.mn/mathematic/7angi/pic93.gif болж таамаглал зөв болж батлагдав.

Энэ баталгаа нь Bиетийн теоремийн баталгаа юм.

Теорем: Эмхэтгэсэн квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь хоёрдугаар коэффициентын эсрэг тоо, язгууруудын vржвэр нь сул гишvvнтэй харгалзан тэнцvv байна. Энэ теоремийг анх Францын математикч Франсуа Виетийн нэрээр нэрлэжээ.

үүнээс http://too.mn/mathematic/7angi/pic94.gif хэлбэрийн тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь http://too.mn/mathematic/7angi/pic95.gif тэнцvv, язгууруудын үржвэр нь http://too.mn/mathematic/7angi/pic96.gif -тай тэнцvv байна гэж мөрдөн гарна.

http://too.mn/mathematic/7angi/pic97.gif
http://too.mn/mathematic/7angi/pic98.gif

Теорем: Хэрэв a, b хоёр тооны нийлбэр нь –р, тэдгээрийн үржвэр нь q тоотой тэнцvv байвал m ба n тоо http://too.mn/mathematic/7angi/pic100.gifтэгшитгэлийн язгуур болно.

Баталгаа: Теоремын өгсөн нөхцөл ёсоор, a+b=-p ба a*b=q учраас http://too.mn/mathematic/7angi/pic100.gif тэгшитгэлийн x-ийн оронд a-ийг орлуулбал:

http://too.mn/mathematic/7angi/pic101.gif

Иймээс,а тоо тэгшитгэлийн язгуур болно.үүнтэй адилаар, b тоо тэгшитгэлийн язгуур болохыг vзvvлж 
болно.
 

Жишээ нь:

http://too.mn/mathematic/7angi/pic102.gifтэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр ба vржвэрийг олъё

D=169+7*2*4=225 эерэг тоо гарч байгаа учир тэгшитгэл хоёр өөр язгууртай байна.

Тэгшитгэлийн гишvvдийг 4-д хуваавал http://too.mn/mathematic/7angi/pic103.gif эмхэтгэсэн квадрат тэгшитгэл гарна. Виетийн теорем ёсоор энэ тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр http://too.mn/mathematic/7angi/pic104.gif, vржвэр нь http://too.mn/mathematic/7angi/pic105.gif той тэнцvv. Иймээс энэ тэгшитгэлтэй тэнцvv чанартай http://too.mn/mathematic/7angi/pic102.gif тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр мөн http://too.mn/mathematic/7angi/pic104.gif, үржвэр нь http://too.mn/mathematic/7angi/pic105.gif-той тэнцүү байна.

http://too.mn/mathematic/7angi/pic106.gif

http://too.mn/mathematic/7angi/pic107.gif
 

Илэрхийллийн утгыг ол.
http://too.mn/mathematic/7angi/picDadlaga1.gif
Бодолт: Үржвэрт байгаа тоонууд тус бүрдээ тооны квадрат тул язгууруудын үржвэр дүрсэд бичиж болно.
http://too.mn/mathematic/7angi/picDadlaga2.gif
 
http://too.mn/mathematic/7angi/picDadlaga3.gifноогдворын утгыг ол.
Бодолт: http://too.mn/mathematic/7angi/picDadlaga4.gif
 
http://too.mn/mathematic/7angi/picDadlaga5.gifилэрхийллийг хялбарчил.
Бодолт:
http://too.mn/mathematic/7angi/picDadlaga6.gif
 
http://too.mn/mathematic/7angi/picDadlaga7.gifилэрхийллийн утгыг ол.
Бодолт: Илэрхийллийг ижил хуваарьт оруулъя.
http://too.mn/mathematic/7angi/picDadlaga8.gif
 
http://too.mn/mathematic/7angi/picDadlaga9.gifбутархайн хуваарийг рационалиас чөлөөл. Бодолт: Бутархайн хуваарьт байгаа илэрхийллийн хосмогоор үржүүлье.
http://too.mn/mathematic/7angi/picDadlaga10.gif

 

 

9-р анги

Хичээл №1. Арифметик прогрессийн үндсэн ухагдахуун
Дараах жишээг шийдэх замаар энэ ухагдахуунтай танилцъя.

Бодлого: Оюутны байрны нэг өрөөнд 4 оюутан амьдардаг бөгөөд мөн уг байрны дотоод ажлыг хариуцсан 10 ажилчин энэ байранд амьдардаг бол нийт өрөөний тооноос хамаарч хичнээн хүн оюутны байранд амьдарч болохыг функц хэлбэрээр илэрхийлье.



Ажилчны тоо

1 өрөө

2 өрөө

3 өрөө

4 өрөө

…. 

30 өрөө

Хүний тоо 

10

14 

18 

22 

16 

….

130

Хэрвээ оюутны байрыг 30 өрөөтэй гэж үзвэл, нийт өрөөний тоог 4-өөр үржүүлж, түүн дээр 10-ийг нэмэхэд оюутны байранд амьдарч байгаа хүний тоо гарна.
30*4+10=120+10=130

Харин х өрөөтэй байхад оюутны байранд амьдрах хүний тоо нь: 10+30х болно. х нь ямагт натурал тоо байна .

Дээрхи хүснэгтэд бичигдсэн тоонуудын хувьд хүснэгтний аль дараалсан нүдэнд байгаа тоонуудын эхний нүдэнд байгаа тоо нь дараагийн нүдэнд байгаа тооноосоо 4-р бага байна.


http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel1/pic180.gifтоонуудын аль дараалсан хоёр тооны хувьд дараах нь өмнөхөөсөө нэг тогтмол тоогоор ялгаатай бол түүнийг арифметик прогресс гэнэ.

 

Арифметик прогресс үүсгэж байгаа тоонуудыг түүний гишүүд гэнэ.

Жишээ нь:

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel1/pic181.gif

Дээрхи арифметик прогрессүүдийн а1;1; 2.6; 41 –ийг арифметик прогрессийн эхний гишүүн гэнэ. арифметик прогрессийн гишүүдийн баруун доод буланд бичигдсэн цифрийг гишүүний дугаар гэнэ.
 

Арифметик прогрессийн тодорхойлолтоор дараалсан гишүүдийн нэг нь нөгөөгөөсөө ялгагдаж байгаа тогтмол тоог арифметик прогрессийн ялгавар гэнэ. 

 

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel1/pic182.gif

Энэ бичлэгээс ялгаврыг олбол

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel1/pic183.gif

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel1/pic184.gifарифметик прогресс үүсгэдэг бол http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel1/pic185.gif  

гэж тэмдэглэдэг.

 


Арифметик прогресс

Ялгавар

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel1/pic186.gif

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel1/pic189.gif

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel1/pic187.gif

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel1/pic190.gif

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel1/pic188.gif

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel1/pic191.gif

Хэрвээ ялгавар нь http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel1/pic192.gif бол өсөх, http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel1/pic193.gif бол буурах, d=0 бол тогтмол арифметик прогресс гэнэ. Хэрвээ арифметик прогрессийн гишүүдийн эцсийн гишүүн нь өгөгдсөн бол төгсгөлөг, гишүүдийн тоо нь тодорхойгүй тохиолдолд төгсгөлгүй арифметик прогресс гэж нэрлэдэг.
 


Жишээ нь:

1) 2.3, 5, 7.7, 10.4, 13.1, 15.8, 18.5, 21.2,….
2) 125,119,113,107,101, 95,89,83,…,11 гэсэн хоёр арифметик прогресс өгөгджээ. 

1-д; Өгөгдсөн арифметик прогрессийн ялгаврыг олбол, d=5-2.3=2.7 тул энэ арифметик прогресс өсөх, сүүлийн гишүүн нь тодорхойгүй байгаа учир төгсгөлгүй арифметик прогресс болно.
2-д; ялгавар нь d=119-125=-6 буюу 0-ээс бага тоо гарч байгаа учир буурах, сүүлийн гишүүн нь тодорхой байгаа нь ыы/11/ төгсгөлөг арифметик прогресс болохыг харуулж байна.

Хичээл №2. Арифметик прогрессийн чанар
Арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүний хувьд дараах хүснэгтийг авч үзье.

Хүснэгтийн эхний багананд дараалсан гурван гишүүнээр ялгаврыг хэрхэн илэрхийлж болохыг үзүүлжээ. Дараагийн багананд ялгаврыг илэрхийлсэн тэнцэтгэлээс төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэж тэнцүүгийн тэмдэгний нэг талд ялгасан байна. Гуравдугаар багананд байгаа тэнцэтгэлээс дараалсан гурван гишүүний дундах гишүүнийг захын хоёр гишүүүнээр илэрхийлэн бичсэн байна.

 Ялгавар

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel2/pic194.gif

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel2/pic195.gif

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel2/pic196.gif

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel2/pic197.gif

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel2/pic198.gif

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel2/pic199.gif

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel2/pic200.gif

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel2/pic201.gif

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel2/pic202.gif

. . .

. . . 

. . .

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel2/pic203.gif

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel2/pic204.gif

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel2/pic205.gif

 Дээрхи хүснэгтээс арифметик прогрессийн үндсэн чанрыг доорхи байдлаар томъёолж болно.
 
 
 

Арифметик прогрессийн дараалсан гурван гишүүний дундах нь захын хоёр гишүүний арифметик дундажтай тэнцүү байна.


 
 

Жишээ нь:

1.5, 4, 6.5, 9, 11.5… энэ арифметик прогрессийн хувьд дээрхи чанар биелэх эсэхийг шалгая.

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel2/pic206.gif

 

Өгөгдсөн тоонуудын дурын дараалсан гурван тооны захын хоёрын арифметик дундаж нь дундах гишүүнтэйгээ тэнцүү бол эдгээр тоонууд арифметик прогресс үүсгэнэ.

Өгсөн нөхцөл ёсоор дараалсан гишүүн бүр нь http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel2/pic207.gifhttp://too.mn/mathematic/8angi/hicheel2/pic199.gifhttp://too.mn/mathematic/8angi/hicheel2/pic202.gif;...; http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel2/pic205.gif-ийг хангадаг бөгөөд эдгээрийг http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel2/pic208.gif хэлбэрт бичвэл тэдгээрийн ялгавар нь зөвхөн ганц л тоотой тэнцүү болох нь харагдаж байна. Энэ тоо нь арифметик прогрессийн ялгавар d болж чадна. Учир нь эдгээр тоонууд хоорондоо тогтмол тоогоор ялгаатай байна. Иймээс өгсөн тоон дараалал арифметик прогресс болж байна. 

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel2/pic209.gif

Хичээл №3. Арифметик прогрессийн n-р гишүүний чанар
Арифметик прогрессийн эхний гишүүн ба ялгавар өгөгдсөн тохиолдолд n дүгээр гишүүнийг хэрхэн олох вэ? гэсэн асуултад хариулт өгөх замаар дараах нийлбэрүүдийг авч үзье.

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel3/pic210.gif

Эндээс арифметик прогрессийн n дүгээр гишүүн http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel3/pic211.gif нь http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel3/pic212.gif тэнцүү. Иймээс эхний гишүүн, ялгавар, дугаар гурваар арифметик прогрессийн аль ч гишүүн илэрхийлэгдэж болох нээ.

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel3/pic214.gifтомъёог арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томъёо гэж нэрлэдэг.
 

Жишээ1:

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel3/pic215.gifбол http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel3/pic216.gif-р гишүүнийг ол.

n=220, n-1=219 тул арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel3/pic217.gif томъёонд бодлогын өгөгдсөн нөхцлүүдийг орлуулбал http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel3/8_3.ht1.gif  болно.


 
 

Жишээ 2:

62.5 тоо нь  http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel3/8_3.ht2.gifарифметик прогрессийн гишүүн болох уу?

Бодолт: Энэ бодлогийн http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel3/pic218.gif тул  http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel3/8_3.ht3.gifтэгшитгэлийг хангах n олдох уу?гэсэн бодлого бодохтой адил юм.
Иймээс энэ арифметик прогрессийн 
http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel3/pic218.gif тул арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томъёонд орлуулбал
 

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel3/8_3.ht3.gifhttp://too.mn/mathematic/8angi/hicheel3/pic219.gif

 болох буюу 20-р гишүүн нь 62.5 болно.

Арифметик прогрессийн ерөнхий гишүүний томъёонд хувиргалт хийвэл:

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel3/pic220.gif

хэлбэртэй болох бөгөөд энд дараах орлуулгийг хийе.

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel3/pic221.gif

болно. х нь арифметик прогрессийн гишүүний дугаарыг зааж байгаа учраас ямагт натурал тоо байна.
 

Арифметик прогрессийн гишүүд нь натурал тоон олонлог дээр тодорхойлогдсон шугаман функцийн утга мөн.

Хичээл №4. Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр
Өөрөөр хэлбэл 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 гэсэн арифметик прогресс өгөгдсөг байг гэж үзье. Тэгвэл хоёр захаасаа ижил зайд алслагдсан 3 ба 8-ийн нийлбэрийг авч үзье. 3+8=11. Мөн захаасаа ижил зайд алслагдсан бусад цифрүүдийн нийлбэрийг авч үзье. 
2+9=4+7=5+6=1+10=11 Эндээс доорхи дүгнэлтийг гаргаж болно.
 

Арифметик прогрессийн дараалсан n гишүүний хоёр захаасаа ижил зайд алслагдсан гишүүдийн нийлбэр захын хоёр гишүүний нийлбэртэй тэнцүү.

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel4/pic222.gif

Одоо баталгааг авч үзье.

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel4/pic223.gif
http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel4/pic223b.gif
http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel4/pic223c.gif

буюу http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel4/pic224.gif болж батлагдаж байна.
Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг 
http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel4/pic225.gif гэж тэмдэглэвэл:
http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel4/pic226.gifбуюу өөрөөр сүүлийн цифрээс нь нийлбэрийг бичиж
http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel4/pic227.gifтэдгээрийг хооронд нь нэмбэл эхний ба сүүлийн цифрийн нийлбэр хэлбэртэй n ширхэг нийлбэр гарна.

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel4/pic229.gifэнд арифметик прогрессийн гишүүдийн хоёр захаасаа ижил зайд алслагдсан гишүүдийн нийлбэр тэнцүү гэдгээс http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel4/8_4.ht4.gifбайна. иймээс эдгээрийн нийлбэр  http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel4/8_4.ht5.gifтай тэнцүү.
http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel4/pic229.gif  нийлбэрээс  http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel4/8_4.ht6.gif-ийг олбол

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel4/pic230.gifгарна.

Үүнийг арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо гэнэ.
 

Жишээ нь: 

1, 2, 3, 4, …, 488, 489, 500 тоонуудын нийлбэрийг авч үзвэл, өмнөхийн адил алхам хийвэл

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel4/pic231.gif

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel4/pic232.gifтомъёоны http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel4/pic233.gif -ийн оронд http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel4/pic234.gif томъёог орлуулбал:

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel4/pic235.gifгарна.

Натурал тоон олонлогын эхний n ширхэг сондгой тооны нийлбэрийг олбол 

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel4/pic236.gif
 

болно.

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel4/pic237.gif

Бодлого: Манай улсын нэгэн компани өөрийн орныхоо тамирчдын ур чадвар амжилтыг дээшлүүлэх 
зорилгоор, дэлхийн аварга болсон тамирчдад 2001 онд 1 кг, 2002 онд 3 кг, 2003 онд 5 кг гэх мэтээр хагас зуун жил алтаар шагнах болжээ. Тэгвэл спортын нэгэн гол төрөл болох чөлөөт бөхийн тамирчдаас жилд 1 дэлхийн аварга төрж байсан гэж үзвэл тус компани зөвхөн чөлөөт 2051 онд хэдэн кг алт өгөх вэ? Хагас зуун жилийн турш хэдэн кг алт зарцуулсан бэ? Бөхийн тамирчдад хичнээн кг алт зарцуулсан бэ?

Бодолт: 1+2*49=99 
 

http://too.mn/mathematic/8angi/hicheel4/pic238.gif

кг алт зарцуулсан.

10-р анги

Хичээл №1. Өнцгийг радианаар хэмжих

Нэгж радиустай тойргийг тоон шулууны эх дээр сонгож авъя. Тойргийн төв О цэгээс тоон шулуун руу перпендикуляр буулгаж тэр цэгийг А гэе.
 

Тойргийг эргvvлж 1 цэгийн тойргийн шvргэгч болоход, тэр цэгийг А1 гэвэл, АА1 нумын урт 1 болно. Эндээс анх авсан тойргийн радиус, АА1 нумын урт хоёр тэнцvv болно.
 

Тойргийн радиустай тэнцvv урт бvхий нумд тулсан төв өнцгийг нэг радиан өнцөг гэнэ. Уул өнцөгт тулсан өнцгийг нэг радиан нум гэнэ.

Тойргийн урт http://too.mn/mathematic/9angi/picLec01.gifбайдгийг бид мэднэ. Тэгвэл дээрхи тодорхойлолт ёсоор тойргийн төв өнцөг нь http://too.mn/mathematic/9angi/picLec02.gifрадиан болно. Мөн бvтэн тойргийн төв өнцгийн градусан хэмжээ нь 360o байдгийг бид мэднэ. http://too.mn/mathematic/9angi/picLec03.gifболно.

Синус, косинусын тодорхойлолт

Ороолт буулгалтаар http://too.mn/mathematic/9angi/picLec04.gifтоонд тригонометр тойрогт Мх харгалздаг бол, Мх цэгийн ординатыг x тооны синус гээд sin x гэж тэмдэглэнэ. Мх цэгийн абсциссыг x тооны косинус гээд cos x гэж тэмдэглэдэг.
 

ОМХ=1 ба http://too.mn/mathematic/9angi/picLec05.gifгэдгээс Пифагорын теоремоор: http://too.mn/mathematic/9angi/picLec06.gifболох бөгөөд vvнийг тригонометрийн vндсэн адилтгал гэнэ.

x тооны синусыг x тооны косинуст харьцуулсан харьцааг x тооны тангенс гэх бөгөөд tgx гэж тэмдэглэдэг. http://too.mn/mathematic/9angi/picLec07.gif
x тооны косинусыг х тооны синуст харьцуулсан харьцааг тооны котангенс гэх бөгөөд ctgx гэж тэмдэглэнэ. http://too.mn/mathematic/9angi/picLec08.gif

Тригонометр функцийн тодорхойлогдох муж болон утгын мужийг дараах хvснэгтээс харж болно.
 

Функцийн нэр

sinx

cosx

tgx

ctgx

Тодорхойлогдох муж

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec09.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec09.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec10.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec11.gif

Утгын муж

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec12.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec12.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec09.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec09.gif

Эдгээр харьцаанаас http://too.mn/mathematic/9angi/picLec13.gif
Тригонометрийн vндсэн адилтгалын харьцааны хоёр талыг sin2x-д хуваавал http://too.mn/mathematic/9angi/picLec15.gif
тэнцэтгэл биелэнэ.
Тригонометрийн vндсэн адилтгалын харьцааны хоёр талыг cos2x-д хуваавал http://too.mn/mathematic/9angi/picLec16.gif
тэнцэтгэл биелэнэ.
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec17.gifфункцvvдийг харгалзан косеканс, секанс гэж нэрлэдэг бөгөөд http://too.mn/mathematic/9angi/picLec18.gifгэж тэмдэглэнэ.

Тригонометр функцийн тэмдэг

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec19.gif                           http://too.mn/mathematic/9angi/picLec20.gif
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec21.gif                            http://too.mn/mathematic/9angi/picLec22.gif
 

 

I мөч

II мөч

III мөч

IV мөч

Зургаас харахад, x цэгт харгалзах абцисс, ординатын тэмдэгийг хялбар тодорхойлж болно. Харин тангенс, котангенсийн тэмдгийг синус косинусийн харьцаагаар гарах тэмдгээр тодорхойлно.

sin

+

+

-

-

cos

+

-

-

+

tg

+

-

+

-

ctg

+

-

+

-

 

http://too.mn/mathematic/9angi/le.gifhttp://too.mn/mathematic/9angi/dasgal.gifhttp://too.mn/mathematic/9angi/shalga.gifhttp://too.mn/mathematic/9angi/daalga.gifhttp://too.mn/mathematic/9angi/stud.gifhttp://too.mn/mathematic/9angi/tailbar.gifhttp://too.mn/mathematic/9angi/holboos.gifhttp://too.mn/mathematic/9angi/zar.gif

 

Хичээл №2. Тригонометр функцийн тэгш сондгой байдал

Нэгж радиустай тойрогт х=1 гэсэн шvргэгч шулуун татаад тэр шулууны тригонометр тойрогтой шvргэлцсэн цэгээс дээш дурын х урттай хэрчим тасалж аваад тvvнийг цагийн зvvний эсрэг чиглэлд эргvvлэн тригонометр тойргийг ороогоод тригонометр тойрогт харгалзах цэгийн абсцисс, ординатын харгалзах утга нь, шvргэгч шулууны тригонометр тойрогтой огтлолцсон цэгээс доош х урттай хэрчим таслаад тригонометр тойргийг цагийн зvvний дагуу тойруулан орооход х цэгийн харгалзах абсцисс болон ординатын эсрэг утгатай харгалзан тэнцvv байна.

Өөрөөр хэлбэл х тоонд харгалзах косинусын утга нь -х харгалзах косинусын утгатай тэнцvv байна. Харин синусын хувьд х харгалзах синусийн утга нь -х харгалзах синусийн утгыг хасахаар авсантай тэнцvv.

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec23.gifЭндээс дараах теоремийг томъёолж болно.

Теорем: Дурын бодит тооны хувьд http://too.mn/mathematic/9angi/picLec24.gifадилтгалууд биелэнэ. Өөрөөр хэлбэл косинус тэгш функц, синус сондгой функц

Жишээ нь:
a) http://too.mn/mathematic/9angi/picLec25.gifийн утгыг олъё.   http://too.mn/mathematic/9angi/picLec26.gif
b) http://too.mn/mathematic/9angi/picLec27.gif-ийн утгыг олъё.   http://too.mn/mathematic/9angi/picLec28.gif

Эмхэтгэлийн томъёо

 

Зурагт х цэгийн анхны координат нь http://too.mn/mathematic/9angi/picLec29.gifбайсан бол тvvнийг http://too.mn/mathematic/9angi/picLec30.gif-ээр эргvvлсний дараа х цэгийн координат http://too.mn/mathematic/9angi/picLec31.gifболж байна. Х цэгийн координатын өөрчлөлтийг http://too.mn/mathematic/9angi/picLec32.gifгэж тэмдэглэвэл http://too.mn/mathematic/9angi/picLec33.gifболох ба харгалзах координатуудыг тэнцvvлбэл http://too.mn/mathematic/9angi/picLec34.gif
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec35.gif-гээс их аргументтай аливаа тригонометр функцvvдийг http://too.mn/mathematic/9angi/picLec36.gifаргументтай тригонометр функцээр илэрхийлж болно. Ингэж http://too.mn/mathematic/9angi/picLec35.gif-гээс их аргументтай аливаа тригонометр функцийг http://too.mn/mathematic/9angi/picLec36.gifаргументтай тригонометр функцээр илэрхийлэх холбоог харуулах томъёог эмхтгэлийн томъёо гэж нэрлэдэг.

Зургаас харахад нэгж тойрог дээр авсан нэг урт бүхий гипотенузтай тэгш өнцөгт гурвалжныг http://too.mn/mathematic/9angi/picLec35.gif, http://too.mn/mathematic/9angi/picLec37.gif, http://too.mn/mathematic/9angi/picLec38.gif, http://too.mn/mathematic/9angi/picLec39.gifөнцгvvдээр эргvvлэхэд гурвалжны х цэгийн харгалзах координатыг олбол дараах хvснэгтээс харж болно.

 

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec40.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec41.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec42.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec43.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec44.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec45.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec46.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec47.gif

sin

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec48.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec48.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec49.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec50.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec51.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec51.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec50.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec49.gif

cos

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec49.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec50.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec51.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec51.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec50.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec49.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec48.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec48.gif

tg

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec52.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec53.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec54.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec55.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec52.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec53.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec54.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec55.gif

ctg

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec55.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec54.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec53.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec52.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec55.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec54.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec53.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec52.gif

Хэрвээ синус, косинус, тангенс, котангенс функцийн аргумент http://too.mn/mathematic/9angi/picLec35.gifбуюу http://too.mn/mathematic/9angi/picLec38.gifгэсэн нэмэгдэхvvнvvдтэй байвал синус нь косинусаар косинус нь синусээр, тангенс нь котангенсаар, котангенс нь тангенсаар тус тус солигдоно.
 
Хэрэв синус, косинус, тангенс, котангенс функцийн аргумент нь http://too.mn/mathematic/9angi/picLec37.gif, http://too.mn/mathematic/9angi/picLec39.gifнэмэгдэхvvнтэй байвал синус, косинус, тангенс, котангенс нэрээ өөрчилөхгvй.
 
Синус, косинус, тангенс, котангенс функц эмхтгэгдэхдээ тэмдэг эмхтгэгдсэн синус, косинус, тангенс, котангенс функцийн тэмдэгээр тодорхойлогдоно. Тухайлбал http://too.mn/mathematic/9angi/picLec44.gifба http://too.mn/mathematic/9angi/picLec43.gifнь гуравдугаар мөчид гарна. http://too.mn/mathematic/9angi/picLec45.gif, http://too.mn/mathematic/9angi/picLec46.gifнь дөрөвдvгээр мөчид байна.

Эмхтгэлийг томъёог ашиглан дурын мохоо өнцгийг хурц өнцгөөр илэрхийлж болно.
Жишээ:  http://too.mn/mathematic/9angi/picLec56.gif

Хичээл №3. Хоёр бодит тооны нийлбэр, ялгаврын тригонометр функц

Теорем: Дурын http://too.mn/mathematic/9angi/picLec57.gifгэсэн хоёр бодит тооны хувьд дараах адилтгал ямагт vнэн байна.
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec58.gif
Санамж: Дээрхи теоремоос дараах мөрдөлгөөнvvд мөрдөн гарна.
Мөрдөлгөө:Дурын http://too.mn/mathematic/9angi/picLec57.gifгэсэн хоёр бодит тооны хувьд http://too.mn/mathematic/9angi/picLec59.gifадилтгал биелэнэ.

Мөрдөлгөө: Дурын http://too.mn/mathematic/9angi/picLec60.gifтооны хувьд:
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec61.gif
адилтгалууд vнэн байна.
Жишээ: http://too.mn/mathematic/9angi/picLec62.gif

Мөрдөлгөө: Дурын http://too.mn/mathematic/9angi/picLec60.gifтооны хувьд
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec63.gif
адилтгалууд vнэн байна.

Мөрдөлгөө: Дурын http://too.mn/mathematic/9angi/picLec64.gifтоонуудын хувьд
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec65.gif
тэнцэтгэл ямагт vнэн байна.

Теорем: Дурын http://too.mn/mathematic/9angi/picLec66.gifтооны хувьд
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec67.gif

Жишээ: http://too.mn/mathematic/9angi/picLec68.gif

Мөрдөлгөө: Дурын http://too.mn/mathematic/9angi/picLec57.gifтооны хувьд
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec70a.gifhttp://too.mn/mathematic/9angi/picLec70b.gif
 
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec71d.gif
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec71e.gif
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec71f.gif

Хичээл №4. Хоёрлосон өнцгийн тригонометр функц

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec72.gifнь юутай тэнцvv болохыг харъя.
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec73.gif

Хагас өнцгийн тригонометр функц

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec74.gif

Гурвалсан өнцгийн тригонометр функц

http://too.mn/mathematic/9angi/picLec75.gif

Vvнтэй адилаар http://too.mn/mathematic/9angi/picLec76.gifболохыг баталж болно.

Vржвэрийг нийлбэр ялгаварт хувиргах:

Дурын http://too.mn/mathematic/9angi/picLec77.gifбодит тоонуудын хувьд дараах адилтгал биелэнэ. http://too.mn/mathematic/9angi/picLec78.gif
Адилтгалыг батлахыг тулд нийлбэр ялгаврын синусийн томъёог ашиглая. Эдгээр тэнцэтгэлийн хоёр талыг харгалзан нэмбэл:
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec79.gif
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec80.gifболж батлагдана.

Мөрдөлгөө: Дурын http://too.mn/mathematic/9angi/picLec77.gifбодит тоонуудын хувьд дараах адилтгалууд биелэнэ.
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec81.gif

Тригонометр функцийн нийлбэрийг vржвэрт хувиргах:

Дурын http://too.mn/mathematic/9angi/picLec77.gifбодит тоонуудын хувьд дараах адилтгал биелэнэ.
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec82.gif
Энэ адилтгалыг батлахын тулд:
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec83.gifхэлбэртэй бичээд ямар ч тоог нэмээд хасахад уг нийлбэр өөрчилөгдөхгүй.
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec84.gif
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec85.gif
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec86.gifхэлбэрт бичвэл
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec87.gifболно.

 Эдгээрийг харгалзуулан нэмбэл: http://too.mn/mathematic/9angi/picLec88.gifболж батлагдав.

Мөрдөлгөө: Дурын бодит тоонуудын хувьд дараах адилтгалууд биелэнэ.
http://too.mn/mathematic/9angi/picLec89.gif

 

Тайлбар толь

Тангенс функц
http://too.mn/mathematic/9angi/picTail01.gif
 
Котангенс функц
http://too.mn/mathematic/9angi/picTail02.gif
 
http://too.mn/mathematic/9angi/picTail03.gif-косеканс , http://too.mn/mathematic/9angi/picTail04.gif- секанс
 
http://too.mn/mathematic/9angi/picTail05.gifкосинус бол тэгш функц, харин синус http://too.mn/mathematic/9angi/picTail06.gifсондгой функц
 
Эмхэтгэлийн томъёо
 

 

http://too.mn/mathematic/9angi/picTail07.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picTail08.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picTail09.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picTail10.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picTail11.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picTail12.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picTail13.gif

http://too.mn/mathematic/9angi/picTail14.gif

sin

cosa

cosa

sina

-sina

-cosa

-cosa

-sina

sina

cos

sina

-sina

-cosa

-cosa

-sina

sina

cosa

cosa

tg

ctga

-ctga

-tga

tga

ctga

-ctga

-tga

tga

ctg

tga

-tga

-ctga

ctga

tga

-tga

-ctga

ctga

  Нийлбэрийн косинус, синусын томъёо:
http://too.mn/mathematic/9angi/picTail15.gif
http://too.mn/mathematic/9angi/picTail16.gif
http://too.mn/mathematic/9angi/picTail17.gif
 
Нийлбэрийн тангенсийн томъёо:
http://too.mn/mathematic/9angi/picTail18.gif
 
Давхар өнцгийн косинус функцийн томъёо:
http://too.mn/mathematic/9angi/picTail19.gif
 
Давхар өнцгийн синус функц
http://too.mn/mathematic/9angi/picTail20.gif
 
Хагас өнцгийн косинус:
http://too.mn/mathematic/9angi/picTail21.gif
 
Хагас өнцгийн синус
http://too.mn/mathematic/9angi/picTail22.gif
 
 Хагас өнцгийн тангенс:
http://too.mn/mathematic/9angi/picTail23.gif
 
Косинус функцийн гурвалсан өнцгийнг дан өнцгөөр илэрхийлэх томъёо
http://too.mn/mathematic/9angi/picTail24.gif
 
Тригонометрийн функцийн үржвэрийг нийлбэрт хувиргах томъёо:
http://too.mn/mathematic/9angi/picTail25.gif
http://too.mn/mathematic/9angi/picTail26.gif
 
Синусуудын нийлбэрийг үржвэрт хувиргах томъёо:
http://too.mn/mathematic/9angi/picTail27.gif
http://too.mn/mathematic/9angi/picTail28.gif
 
Косинусуудын нийлбэрийг үржвэрт хувиргах томъёо:
http://too.mn/mathematic/9angi/picTail29.gif

11-р анги

Хичээл №1. Тригонометрийн урвуу функц

Синусийн урвуу функц

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec01.gifба http://too.mn/mathematic/10angi/picLec02.gifбайх х тоог а тооны арксинус гэж нэрлээд http://too.mn/mathematic/10angi/picLec03.gifтэмдэглэдэг.
Арксинус нь синустэй харгалзан урвуу хамааралтай.

 

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec04.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec03.gif

Тодорхойлогдох муж

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec05.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec06.gif

Утгын муж

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec06.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec05.gif

Тэгш, сондгой эсэх

сондгой

сондгой

Доорхи хүснэгтээр http://too.mn/mathematic/10angi/picLec03.gifфункцийн зарим цэг дээрх утгуудыг харуулав. /хүснэгт 1/

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec08.gif

-1

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec09.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec10.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec11.gif

0

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec12.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec13.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec14.gif

1

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec03.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec15.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec16.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec17.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec18.gif

0

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec19.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec20.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec21.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec22.gif


Косинус функцийн урвуу функц

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec23.gifба http://too.mn/mathematic/10angi/picLec24.gifбайх х тоог а тооны арккосинус гэж нэрлээд http://too.mn/mathematic/10angi/picLec25.gifгэж тэмдэглэнэ.

 

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec26.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec25.gif

Тодорхойлогдох муж

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec27.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec28.gif

Утгын муж

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec28.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec27.gif

Тэгш, сондгой эсэх

Тэгш ч биш сондгой ч  биш

Тэгш ч биш, сондгой ч биш

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec25.gifфункцийн зарим цэг дээрх утгуудыг дараах хүснэгтээс харж болно. /Хүснэгт 2/

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec08.gif

-1

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec11.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec10.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec09.gif

0

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec14.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec13.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec12.gif

1

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec25.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec29.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec30.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec31.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec32.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec22.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec19.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec20.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec21.gif

0


Тангенс функцийн урвуу функц

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec33.gifба http://too.mn/mathematic/10angi/picLec34.gifбайх х тоог а тооны арктангенс гэж нэрлээд http://too.mn/mathematic/10angi/picLec35.gifгэж тэмдэглэнэ.

 

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec36.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec35.gif

Тодорхойлогдох муж

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec37.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec38.gif

Утгын муж

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec38.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec37.gif

Тэгш сондгой эсэх

сондгой

сондгой

Тангенсийн урвуу функцийн зарим цэг дээрх утгууд /Хүснэгт 3/

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec08.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec39.gif

-1

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec40.gif

0

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec41.gif

1

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec42.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec35.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec43.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec44.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec45.gif

0

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec19.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec20.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec21.gif


Котангенс функцийн урвуу функц

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec46.gifба http://too.mn/mathematic/10angi/picLec47.gifбайх х тоог а тооны арккотангенс гэж нэрлээд http://too.mn/mathematic/10angi/picLec48.gifгэж нэрлэнэ.

 

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec49.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec48.gif

Тодорхойлогдох муж

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec50.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec38.gif

Утгын муж

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec38.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec50.gif

Тэгш сондгой эсэх

Тэгш ч биш, сондгой ч биш

Тэгш ч биш, сондгой ч биш

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec48.gifфункцийн зарим цэг дээрх утгууд /Хүснэгт 4/

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec08.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec39.gif

-1

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec40.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec41.gif

1

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec42.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec48.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec51.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec52.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec53.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec19.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec20.gif

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec21.gif

 Хичээл №2. Тригонометрийн хялбар тэгшитгэл

Тригонометрийн функцийн аргументад нь vл оролцсон тэгшитгэлийг тригонометр тэгшитгэл гэнэ.

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec54.gif(1) хэлбэрийн тэгшитгэлийн шийдийг яаж бичих талаар тайлбарлая.
 а. http://too.mn/mathematic/10angi/picLec55.gifтохиолдолд өгөгдсөн тэгшитгэл шийдгvй.
 б. http://too.mn/mathematic/10angi/picLec56.gifvед шийдтэй.
б.1. http://too.mn/mathematic/10angi/picLec57.gifvед (1)-ийн шийдийг
            http://too.mn/mathematic/10angi/picLec58.gif
             томъёогоор өгөгдөнө.
     б.2. Синус функцийн шийдvvдийн онцгой тохиолдолийг авч vзье.
            http://too.mn/mathematic/10angi/picLec59.gif

 Жишээ:
            http://too.mn/mathematic/10angi/picLec60.gif
Санамж: Тригонометрийн хялбар тэгшитгэлийн шийдийг бичихдээ а нь http://too.mn/mathematic/10angi/picLec61.gifгэсэн утгуудыг авах vед хүснэгт (1, 2, 3, 4)-ийг ашиглан шийдийг бичнэ. Бусад тохиолдолд тригонометрийн урвуу функцийг (http://too.mn/mathematic/10angi/picLec62.gif) ашиглан шийдийг бичнэ.
 
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec63.gif(2) хэлбэрийн тэгшитгэлийг бичихдээ:
 а. http://too.mn/mathematic/10angi/picLec64.gifтохиолдолд (2) шийдгvй.
 б. http://too.mn/mathematic/10angi/picLec65.gifvед шийдтэй.
       б.1. http://too.mn/mathematic/10angi/picLec66.gifдvрстэй томъёогоор (2) тэгшитгэлийн
              шийдийг өгнө.
       б.2. Косинус функцийн шийдvvдийн онцгой тохиолдлыг авч vзье.

Жишээ:
             http://too.mn/mathematic/10angi/picLec67.gif
 
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec68.gif(3) тэгшитгэлийн шийдийг бичихдээ:
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec69.gif
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec70.gif
 
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec71.gif(4) хэлбэрийн тэгшитгэлийг бичихдээ:
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec72.gif
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec73.gif

 

Хичээл №3. Тригонометрийн тэгшитгэл

Тригонометрийн тэгшитгэлvvдийг
          - Орлуулах
          - Vржигдэхvvнд задлах
          - Нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг бодох
          - Туслах өнцөг оруулах гэх мэт
бодох аргууд байдаг бөгөөд эдгээр аргуудыг тус бvр нь ярилцах болно.

Санамж: Тригонометрийн тэгшитгэлийг бодох нэгдсэн арга байдаггvй. Өгөгдсөн тэгшитгэлийн онцлогоос шалтгаалж янз бvрийг аргаар боддог.


Жишээ 1:
(Тригонометрийн тэгшитгэлийг орлуулах аргаар бодох):

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec74.gifгэсэн тэгшитгэлийг бодохдоо http://too.mn/mathematic/10angi/picLec75.gifгэсэн хувьсагчийн оронд у гэсэн хувьсагч орлуулбал:
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec76.gifгэсэн орлуулгаар өгөгдсөн тэгшитгэл http://too.mn/mathematic/10angi/picLec77.gifгэсэн квадрат тэгшитгэлд шилжинэ. Уг квадрат гурван гишvvнтийн шийд нь http://too.mn/mathematic/10angi/picLec78.gifболно.  http://too.mn/mathematic/10angi/picLec79.gifэндээс уг хялбар тэгшитгэлийн шийдийг бичвэл:
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec80.gifhttp://too.mn/mathematic/10angi/picLec81.gif

Жишээ 2: (Vржигдэхvvнд задлах аргаар бодох):

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec82.gifтэгшитгэлийг бод.
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec83.gif

Жишээ 3: (Vржигдэхvvнд задлах аргаар бодох):

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec84.gifтэгшитгэлийг бод.
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec85.gifдавхар өнцгийн чанрыг ашиглавал:
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec86.gif

Жишээ 4: (Нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг бодох):

http://too.mn/mathematic/10angi/picLec87.gifтэгшитгэлийг бод:
 Өгөгдсөн тэгшитгэлийг бодохдоо http://too.mn/mathematic/10angi/picLec88.gifгэж үзвэл http://too.mn/mathematic/10angi/picLec89.gifболно. Гэтэл http://too.mn/mathematic/10angi/picLec90.gif-ийг хоёуланг нь нэгэн зэрэг тэг байлгах х-ийн утга олдохгvй. Иймд http://too.mn/mathematic/10angi/picLec91.gifгэж vзээд өгөгдсөн тэгшитгэлийн хоёр талыг http://too.mn/mathematic/10angi/picLec92.gif-д хувааж өгвөл
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec93.gif

Жишээ 5: http://too.mn/mathematic/10angi/picLec94.gifтэгшитгэлийг нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг бодох аргаар бод.
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec95.gifтэгшитгэлд http://too.mn/mathematic/10angi/picLec96.gifадилтгалыг ашиглан хувиргавал http://too.mn/mathematic/10angi/picLec97.gifнэгэн төрлийн тэгшитгэлд шилжинэ.
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec98.gif

Жишээ 6: (Vржвэрийг нийлбэрт (ялгаварт ), нийлбэрийг (ялгаврыг) vржвэрт хувиргаж бодох тэгшитгэл) http://too.mn/mathematic/10angi/picLec99.gifтэгшитгэлийг бод.
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec100.gifтэгшитгэлийг бодохдоо эхлээд хоёр талын vржвэрvvдийг нийлбэрт шилжvvлье.
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec101.gif

Жишээ 7: Ижил нэртэй болгоод vржвэрт шилжvvлэх:
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec102.gifтэгшитгэлийг бодохдоо:
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec103.gif-ийг ашиглавал
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec104.gif

Жишээ 8: Зэрэг бууруулах томъёог тригонометр тэгшитгэлд хэрэглэх:
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec105.gifтэгшитгэлийг бодохдоо:
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec106.gifтомъёог ашиглаж тэгшитгэлд орлуулбал
http://too.mn/mathematic/10angi/picLec107.gif

 

 



Сэтгэгдэл үлдээх

03:01 , 2015-1-9 .. Бичсэн: (зочин)
mash ih bayrlala neg yma oilgohgui bsiin olchlo

туслаач

12:08 , 2011-9-14 .. Бичсэн: мөнх-эрдэнэ (зочин)
тойргийг яаж 9 тэнцүү хэсэгт хуваах вэ? миний хаяг руу мэдэх хүн байвал явуулаарай

{ Сүүлийн хуудас } { 1 -р хуудас Нийт хуудасны тоо: 6 } { Дараагийн хуудас }

Миний талаар:

Нүүр хуудас
Миний танилцуулга
Бичлэгийн сан
Найзууд
Зургийн цомог

Холбоосууд

ogtorguin geometr
gurvaljin
bodloguud
Test
E sudalgaa
Zuvluguu
Kangaroo olimpiad bodloguud

Ангилалууд

tsahim hicheel
tsahim hereglegdehuun

Сүүлийн бичлэгүүд

hicheel
anhnii too
lavlah
hicheel
taraah material
zovlomj

Найзууд

idiomatic-dormant